4、不确定性下的学习：统计学习方法解析

不确定性下的学习：统计学习方法解析

在处理视觉感知建模时，统计学习是一个重要的工具。它能帮助我们从有限的观察数据中推断未知的函数关系，从而对新的观察进行预测和解释。下面将详细介绍统计学习的基本概念、方法及其应用。

1. 统计学习基础

统计学习的核心目标是从有限且可能稀疏的观察数据集中估计一个未知的推断函数。我们将物体和人脸的图像以及从这些图像中提取的特征视为概率观察特征向量，它们的语义解释（即标签）也存在不确定性。观察和标签之间的关系可以通过概率模型来描述。

设 $x \in X$ 是从有限观察集 $X$ 中抽取的随机观察特征向量，$y$ 是 $x$ 在可能集合 $Y$ 中的解释，其概率为 $P(y)$。例如，$X$ 可以是一组人脸图像，$y$ 是与这些人脸图像对应的姓名或身份标签。观察对 $(x, y)$ 的概率由联合概率给出：
[P(x, y) = P(x)P(y|x)]
其中，$P(x)$ 是观察到 $x$ 的概率，$P(y|x)$ 是给定 $x$ 时 $y$ 的条件概率。这个条件概率描述了观察 $x$ 与其解释 $y$ 之间的概率关系。

如果 $P(y|x)$ 已知，就可以为任何给定的观察 $x$ 推断出解释 $y$。但在实际中，这个推断函数通常是未知的。不过，通过归纳学习，我们可以从一组观察数据及其标签中估计这个推断函数。学习完成后，就可以对新的、之前未见过的观察进行预测，这个过程称为推断。

尽管数字图像由离散值组成，但将观察视为连续随机变量通常很有用。一组观察可以通过这些变量的分布来表征，这种分布由概率密度函数 $p(x)$ 描述。对于单变量密度函数，其定义为：
[p(x) = \frac{dF(x