11、多维建模：挑战与解决方案

多维建模：挑战与解决方案

1. 多维数据处理的挑战

多维数据处理的核心挑战归根结底在于数据规模。以一个 $N × N$ 的图像 $Z$ 为例，对应的向量 $z = Z:$ 长度为 $N^2$，其协方差矩阵 $P_z$ 的大小则为 $N^2 × N^2$。即便是一个 $256 × 256$ 像素的小图像，其协方差矩阵也包含 $2^{16} · 2^{16} = 40$ 亿个元素。

面对大规模的多维问题，我们需要进行以下三种操作，这也是主要挑战所在：
- 存储 ：需要将矩阵存储在磁盘或内存中。
- 计算 ：要进行矩阵求逆、矩阵 - 矩阵乘法以及矩阵 - 向量乘法等运算。
- 建模 ：需要推断或指定某些模型矩阵，如 $A$、$C$、$L$、$P$、$R$ 等。

当问题元素数量不超过约一万（即 $100 × 100$ 像素的图像）时，某些方法可以直接应用。但对于更大规模的问题，如 $2160 × 1080$ 像素的海洋学问题，就需要更加谨慎处理。直接应用常规方法在计算上是不可行的，因此问题需要重新表述或缩小规模，这又带来了以下四个挑战：
1. 降维 ：如何减小问题的规模，或将其分解为多个较小的部分。
2. 高效矩阵存储 ：采用稀疏矩阵表示方法，以减少存储需求。
3. 高效计算 ：运用相关方法对稀疏矩阵进行高效计算。
4. 统计建模 ：如何对变换后的问题进行建