25、线性系统估计与卡尔曼滤波在表面重建及动态估计问题中的应用

线性系统估计与卡尔曼滤波在表面重建及动态估计问题中的应用

1. 表面重建概述

表面重建是计算机视觉领域的一个重要问题，它涉及基于一组对表面某些函数（可能包括其导数）的含噪测量值，并借助先验模型来正则化问题，从而估计未知表面。我们关注的表面 $S$ 是一个二维函数 $s(x, y)$，它二阶可微，其梯度定义如下：
$p(x, y) = s_x(x, y) = \frac{\partial s(x, y)}{\partial x}$
$q(x, y) = s_y(x, y) = \frac{\partial s(x, y)}{\partial y}$

2. 表面重建的状态选择

在选择表示表面的状态时，有以下三种可选方案：
- 仅估计梯度 ：
$z(x, y) = \begin{bmatrix}p(x, y)\q(x, y)\end{bmatrix}$
这种情况下，估计的表面 $\hat{s}$ 需通过对 $\hat{p}$ 和 $\hat{q}$ 积分得到。为使积分唯一（与路径无关），$p$ 和 $q$ 必须是表面的梯度，这意味着在平面上所有封闭路径上需满足一致性约束：
$\oint (pdx + qdy) = 0$
由于在估计后才计算表面，此公式不允许对表面进行测量，应用有限。但也有重要例外，如形状从阴影恢复问题，这类问题只有梯度测量值。
- 联合估计表面及其梯度 ：
$z(x, y) = \begin{bmatrix}s(x, y)\p(x, y)\q(x, y)\end{bmatrix}$
这种情况下