19、基变换：优化统计图像处理的关键策略

基变换：优化统计图像处理的关键策略

在统计图像处理和多维建模中，基变换是一种强大的工具，它可以显著改善数值稳定性和计算效率。本文将深入探讨基变换的相关概念、方法及其应用。

基变换的背景与动机

在处理随机向量 $z$ 时，通常假设 $z$ 包含一组空间元素或图像像素，代表原始的随机场。然而，对于 $z$ 的给定模型，必然也暗示了其任何线性函数的模型：
[
z \sim P \quad \overline{z} = Fz \quad \longrightarrow \quad \overline{z} \sim FPF^T
]
当 $F \neq I$ 时，$\overline{z}$ 的元素不再是图像像素，而是原始随机场的某种线性函数。若 $F$ 为可逆方阵，从 $z$ 到 $\overline{z}$ 的变换称为基变换。

基变换虽然会使我们失去对状态元素作为图像像素的直观理解，还可能导致模型某些理想性质的丧失，例如大多数模型在基变换后密度增加（稀疏性降低），平稳或马尔可夫模型通常会变为非平稳或非马尔可夫模型。但在数值稳定性和计算效率方面，基变换能带来显著的好处。

许多估计问题的病态条件，尤其是在随机场的背景下，源于大多数马尔可夫和确定性约束模型的局部性。如图 1 所示，局部算子要在远距离像素之间建立统计关系，需要通过许多状态元素间接传递信息。这种间接性会导致系统矩阵病态，迭代求解器收敛缓慢。

图 1：局部模型导致的病态条件 </