18、离散状态模型与图像分割：理论、方法与应用

离散状态模型与图像分割：理论、方法与应用

1. 条件随机场与离散状态模型概述

条件随机场可以推广到多维问题。其优势在于采用了吉布斯框架，在建模方面具有很大的灵活性，能够轻松适应非线性/离散状态模型，且不存在归一化或正定性的问题。例如，图像分割方法常基于条件随机场模型：
[p(U|M) = \frac{1}{Z} \exp\left(\sum_{i} f_1(u_i, M, \theta) + f_2(u_i, u_{N_{Local},i}, \theta) + f_3(u_i, u_{N_{Non - Local},i}, \theta)\right)]
其中，未知的模型参数 $\theta$ 需要通过学习得到。条件随机场在计算机视觉的标签、分割和目标跟踪等问题中得到了越来越广泛的应用。

在许多情况下，隐藏场是离散标签，如小波系数的高/低方差、图像中的区域、纹理的身份或模式的分类等，这就需要离散状态模型。然而，离散状态模型存在两个关键难题：
- 可供选择的模型很少，且其中能提供非平凡结构的模型更少。
- 一旦包含离散状态模型，整个问题就会成为状态的不连续函数，从而是非线性的。

2. 离散状态模型分类

2.1 局部吉布斯模型

• Ising 模型 ：这是最著名的离散状态模型之一，最初是作为统计力学中铁磁性的模型开发的。无外部场的规则 Ising 模型是一个简单的一阶马尔可夫模型：
  [H(U) = -\sum_{i,j} (u_{i,j}u_{i + 1,j} + u_{i,j}u_{i,j + 1})]
  其中，$u_{i,j}