22、矩阵广义逆与特殊矩阵的性质及应用

矩阵广义逆与特殊矩阵的性质及应用

1. 矩阵方程与广义逆

在矩阵运算中，矩阵方程 (AXB = C) 的求解是一个重要问题。对于该方程，有以下重要结论：
- 方程一致性条件 ：方程 (AXB = C) 对任意 (C) 都有解的充要条件是 ((B’\otimes A)(B’\otimes A)^+ = I)，这等价于 (B^+B = I) 且 (AA^+ = I)，即 (A) 具有满行秩，(B) 具有满列秩。
- 方程解的唯一性 ：方程 (AXB = C) 有唯一解的充要条件是 (A^+A = I) 且 (BB^+ = I)，也就是 (A) 具有满列秩，(B) 具有满行秩。

此外，对于齐次矩阵方程 (AX = O) 和 (XA = O)，其通解分别为：
- (AX = O) 的通解：令 (B = I)，(C = O) 代入 (AXB = C)，可得通解为 (X = (I - A^+A)Q)。
- (XA = O) 的通解：同理，(IXA = O) 的通解为 (X = Q(I - AA^+))。

广义逆矩阵

任意满足 (AXA = A) 的矩阵 (X) 被称为 (A) 的广义逆，记为 (A^-)。关于广义逆矩阵，有以下性质：
- 存在性 ：显然 (X = A^+) 满足 (AXA = A)，所以广义逆 (A^-) 存在。
- 表达式 ：(A^- = A^+ + Q - A^+AQAA^+)（(Q) 为任意矩阵）。

对于 (A^-A)