18、矩阵特征值、特征向量与矩阵函数的深入探讨

矩阵特征值、特征向量与矩阵函数的深入探讨

在矩阵理论的研究中，矩阵的特征值、特征向量以及矩阵函数是非常重要的概念。下面我们将详细探讨相关内容。

1. 正定（半）定矩阵与特征值、特征向量

对于矩阵 (A = \alpha_1B + \alpha_2(I_n - B))，其特征向量是矩阵 (B) 的特征向量，即 (\frac{\iota}{\sqrt{n}})，以及任意一组与 (\iota) 正交的 (n - 1) 个线性无关的向量。

以二次型 (\sum_{i,j=1}^{n}(x_i - x_j)^2) 为例，我们来求解其相关的特征值和特征向量。
设 (x = (x_1, \cdots, x_n)’)，则：
[
\begin{align }
\sum_{i,j=1}^{n}(x_i - x_j)^2&=\sum_{i,j=1}^{n}(x_i^2 + x_j^2 - 2x_ix_j)\
&= 2n\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - 2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2\
&= (2n)x’x - 2(\iota’x)^2\
&= (2n)x’(I_n - \frac{1}{n}\iota\iota’)x\
&= (2n)x’Mx
\end{align }
]
其中矩阵 (M = I_n - \frac{1}{n}\iota\iota’) 是对称幂等矩阵，秩为 (n - 1)。所以 (M) 的特征值为 (1)（(n - 1) 次）和 (0)（(1) 次），那么 (2nM) 的特征值为 (2n)（(