13、对称矩阵与三角矩阵的特征值、特征向量及相关性质

对称矩阵与三角矩阵的特征值、特征向量及相关性质

1. 对称矩阵的特征值与特征向量

1.1 对称矩阵特征值为实数

对于对称矩阵 (A)，设 (Ax = \lambda x)，则 (x^{ }Ax = \lambda x^{ }x)。取共轭转置可得 (x^{ }A^{ }x = \lambda^{ }x^{ }x)，由于 (A^{ }= A)，所以 (\lambda^{ }x^{ }x = \lambda x^{ }x)，进而 (\lambda^{*}= \lambda)，这表明 (\lambda) 是实数。对于 Hermitian 矩阵，此结论同样成立，对称矩阵作为实 Hermitian 矩阵，其特征值必然为实数。

1.2 复对称矩阵的特征值不一定为实数

考虑矩阵 (A = \begin{pmatrix}1 & i \ i & 1\end{pmatrix})，其特征值可由方程 ((1 - \lambda)^2 = -1) 求得，即 (\lambda = 1 \pm i)，这说明复对称矩阵的特征值不一定是实数。

1.3 对称正交矩阵的特征值

已知正交矩阵的所有特征值的模为 (1)，即若 (\lambda = a + ib) 是特征值，则 (a^2 + b^2 = 1)。对于对称正交矩阵 (A)，其特征值必须为实数，所以 (b = 0)，从而 (\lambda = \pm1)。

1.4 对称矩阵的实特征向量

设 (\lambda)（实数）是对称矩阵