10、矩阵运算与系统方程求解技巧

矩阵运算与系统方程求解技巧

1. 分块矩阵与扫描算子

1.1 简单扫描算子运算

对于一个 (2\times2) 矩阵 (A = \begin{bmatrix}a & b\c & d\end{bmatrix})，扫描算子的运算有如下规则：
- 计算 (A^{(1)} = SWP(A, 1)) ：根据定义，(A^{(1)} = \begin{bmatrix}-\frac{1}{a} & \frac{b}{a}\\frac{c}{a} & d - \frac{bc}{a}\end{bmatrix})，此运算的前提条件是 (a \neq 0)。
- 计算 (A^{(2)} = SWP(A^{(1)}, 2)) ：(A^{(2)} = \frac{-1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b\-c & a\end{bmatrix})，这里要求 (a \neq 0) 且 (ad - bc \neq 0)。
- 证明 (A^{(2)} = -A^{-1}) ：可以通过验证 (AA^{(2)} = -I_2) 来证明。

1.2 一般扫描算子运算

• (3\times3) 矩阵的扫描 ：对于矩阵 (A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\a_{21} & a_{22} & a_{23}\a_{31} & a_{32} &