7、矩阵的逆与行列式：深入解析与应用

矩阵的逆与行列式：深入解析与应用

1. 矩阵的逆

在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。我们先从简单的 2×2 矩阵开始探讨。
- 2×2 矩阵的逆
- 考虑矩阵 (A = \begin{pmatrix}1 & 2 \ 2 & 4\end{pmatrix}) 和 (B = \begin{pmatrix}1 & 3 \ 2 & 4\end{pmatrix})。
- 对于矩阵 (A)，由于其行（列）成比例，所以 (rk(A)=1)。假设存在矩阵 (C = \begin{pmatrix}a & b \ c & d\end{pmatrix}) 使得 (AC = I)，即 (\begin{pmatrix}1 & 2 \ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix})，得到方程组 (\begin{cases}a + 2c = 1 \ b + 2d = 0 \ 2a + 4c = 0 \ 2b + 4d = 1\end{cases})，显然该方程组无解，所以矩阵 (A) 没有逆矩阵。
- 对于矩阵 (B)，其行不成比例，所以 (rk(B)=2)。求解 (\begin{pmatrix}1 & 3 \ 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 &