3、启发式有序搜索算法：A*及其变体详解

启发式有序搜索算法：A*及其变体详解

1. A*算法基础与终止条件

A*算法是一种经典的启发式搜索算法，它在状态图搜索中有着广泛的应用。该算法的终止条件有两个：一是当开放列表（front）为空时（对应代码中的第21行）；二是当开放列表中的某个节点，其评估值最优且满足目标状态的定义时（对应代码中的第5行）。

2. A*算法找到最短路径的条件

在带权弧的搜索图框架下，$h^ (n)$ 表示从节点 $n$ 到目标节点集合的最短路径长度。若不存在这样的最短路径，则 $h^ (n) = \infty$；$h^*(s)$ 衡量的是从初始状态 $s$ 到目标节点的最短路径长度，也就是最小解的长度。

尼尔斯森及其同事提出的可采纳性定理表明，当满足以下条件时，将A 算法应用于带权状态图 $G$ ，必然能找到从初始状态到目标节点的最短路径：
1. 图 $G$ 中至少存在一条从初始状态到目标状态的路径。
2. 图 $G$ 中的每个状态都有有限个后继状态。
3. 存在 $\delta > 0$，使得图 $G$ 中的任意弧 $(m, n)$ 都满足 $c(m, n) \geq \delta$。
4. 对于图 $G$ 中的任意状态 $n$，都有 $h(n) \geq 0$。
5. 对于图 $G$ 中的任意状态 $n$，都有 $h^ (n) \geq h(n)$。

满足条件5的启发式函数 $h$ 被称为在图 $G$ 上“低估”的函数。对于 $(n^2 - 1)$ 谜题的状态图，条件2和3显然满足。条件1成立的充要条件是目标状态和初始状态属于同一个连通分量。启发式函数