12、变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用

变分量子本征求解器（VQE）：原理、计算与应用

1. 变分量子本征求解器简介

参数化量子电路（PQC）在量子机器学习领域之外有诸多应用，如投资组合优化和蛋白质折叠等。无论具体算法如何，核心都是通过最优的PQC配置（ansatz）和可调参数构建具有所需特性的量子态，这通常通过最小化某个成本函数来实现。

变分量子本征求解器（VQE）是一种基于PQC的算法，旨在寻找问题哈密顿量的最小本征值（最低能量）。许多NP难组合优化问题的目标函数可编码在量子系统的哈密顿量中，因此找到哈密顿量的基态就能得到目标函数的最小值。VQE最初被提出后，迅速成为在NISQ设备上实验各种优化问题的流行工具。

2. 变分方法

在训练判别式（QNN）和生成式（QCBM）模型时，任务是找到PQC参数的最优配置，使得到的量子态具有所需属性。这一过程在量子机器学习中称为学习，可通过可微或不可微的方式进行，核心是通过改变可调电路参数来最小化成本函数。

若要最小化的成本函数编码在问题哈密顿量中，任务是找到其基态。除了在量子退火器上求解，也可在PQC框架内使用门模型量子计算机找到量子系统的最低能量状态。

哈密顿量H的特征方程为 (H |\psi_i\rangle = E_i |\psi_i\rangle)，目标是找到对应基态 (|\psi_0\rangle) 的最小本征值 (E_0)。在大多数情况下，基态未知，需要通过构建逐步逼近基态的状态，得到基态能量 (E_0) 越来越紧的上界。

根据谱定理，可将厄米哈密顿量H展开为 (H = \sum_{i} E_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|)。对于近似基态 (|\psi\