41、网络理论下的集体行为研究与自主船舶仿真测试评估

网络理论下的集体行为研究与自主船舶仿真测试评估

网络理论中的多智能体系统

在网络理论中，当各个动态系统连接到网络并相互交换状态变量时，它们就能处理单个系统无法完成的新任务。这里我们探讨共识研究如何解决多智能体系统中的分布式优化问题。

在图论里，一个图由顶点（或节点）和边组成。图中的小圆圈代表顶点，箭头代表边，每条边都有一个权重。当节点或边较多时，用公式表达图可能更清晰，图 $G$ 通常可表示为 $G=(V, E, A)$，其中 $V = {1, 2, 3, 4}$ 是顶点集，$E = {(2, 1), (3, 1), (1, 3), (4, 3)}$ 是边集。

比邻接矩阵更常用的是拉普拉斯矩阵（Laplacian），其定义为 $L = D - A$，其中 $D$ 是对角矩阵，第 $i$ 个对角元素是邻接矩阵第 $i$ 行所有元素的和，即 $\sum_{j = 1}^{N} a_{ij}$。拉普拉斯矩阵 $L$ 的 $(i, j)$ 元素 $l_{ij}$ 满足：当 $i \neq j$ 时，$l_{ij} = -a_{ij}$；当 $i = j$ 时，$l_{ij} = \sum_{j = 1}^{N} a_{ij}$。对于一个给定的图，邻接矩阵和拉普拉斯矩阵提供的信息是相同的，若已知图，就能得到拉普拉斯矩阵。

拉普拉斯矩阵具有一些重要性质：
- 拉普拉斯矩阵总有一个特征值为 0，对应特征值 0 的一个特征向量至少有 $1_N = [1, 1, 1, \cdots, 1]^T \in R^N$（$1_N$ 表示所有元素都为 1 的 $N$ 维列向量），因为 $L1_N = 0 \cdot 1_N$（$L$ 的每行元素之和总是 0）。
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