葡萄 状压DP

葡萄

问题描述

葡萄架上有n 串葡萄，每串葡萄都有一个价值。有一只狐狸想偷走一些。
不过她规定,任意连续的k 串葡萄中,最多选b 串,最少选a 串。
现在,狐狸要选出一些葡萄，使得狐狸得到的葡萄的价值和，与剩余葡萄的
价值的和，差值最大。

输入格式

第一行四个整数n,k,a,b
一行N 个整数表示每串葡萄的价值

输出格式

一个整数表示答案

样例输入

2 1 0 1
2 -2

样例输出

4

提示

得到第一串得到的价值和是2
剩余的价值和是-2
差值为4
对于20%：n<=10
对于另外20%：a=0,b=k
对于100%：n<=1000,0<=a<=b<=k<=10 ,k <= n 所有葡萄的价值的绝对值<=10^9

---

设狐狸选的葡萄价值总和为$sel$，所有葡萄价值总和为$tot$,那么答案是$sel-(tot-sel)=2sel-tot$，所以我们需要让$sel$尽可能大。再加上本题的$n$不大，阶段性也很明显，考虑DP。

如何满足“任意连续的k 串葡萄中,最多选b 串,最少选a 串”，注意到k的范围特别小，这启发我们用状态压缩。定义$f[i][S]$表示当前讨论到第i位，最后k串葡萄的选择情况为$S$的最大选择总值。那么状态转移就很显然了：当前这串葡萄选还是不选。转移时判断状态是否合法即可。每个状态选了多少个数可以预处理出来，时间复杂度$O(n2^k)$。

---

代码：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define MAXN 1234
using namespace std;

int N,K,A,B,U,Cnt[MAXN];
ll f[MAXN][MAXN],V[MAXN];

int GetCnt(int x)
{
    int cnt=0;
    while(x)x^=(x&-x),cnt++;
    return cnt;
}

int main()
{
    int i,j,t;
    ll x,sel=0,tot=0;

    scanf("%d%d%d%d",&N,&K,&A,&B);
    for(i=1;i<=N;i++)scanf("%lld",&V[i]),tot+=V[i];

    memset(f,-60,sizeof(f));
    U=(1<<K)-1;

    f[0][0]=0;
    for(i=0;i<=U;i++)Cnt[i]=GetCnt(i);

    for(i=0;i<N;i++)
    for(j=0;j<=U;j++)
    {
        if(i>=K&&(Cnt[j]<A||Cnt[j]>B))continue;
        t=j<<1&U;
        if(!(i+1>=K&&(Cnt[t]<A||Cnt[t]>B)))f[i+1][t]=max(f[i][j],f[i+1][t]);
        t|=1;
        if(!(i+1>=K&&(Cnt[t]<A||Cnt[t]>B)))f[i+1][t]=max(f[i][j]+V[i+1],f[i+1][t]);
    }

    for(i=0;i<=U;i++)if(Cnt[i]>=A&&Cnt[i]<=B)sel=max(sel,f[N][i]);

    printf("%lld",sel*2-tot);
}