OpenCV 仿射变换与透视变换

0 · 导读：为什么是这两种变换

几何变换的本质是给每个像素坐标 $(x,y)$ 找一个新位置 $(x^{\prime },y^{\prime })$。按「保真度」从强到弱，图像变换有一个阶梯：

变换	自由度	保什么	不保什么	OpenCV 主力函数
欧氏（刚体）	3	长度、角度、平行	—	getRotationMatrix2D
仿射 affine	6	共线、平行、距离比、面积比	角度、长度	getAffineTransform / warpAffine
透视 perspective	8	共线、直线、交比	平行、距离比、面积比	getPerspectiveTransform / warpPerspective
投影（一般 3D）	15	直线	几乎都不保	需 3D 管线

一句话定位：仿射是「平面内的任意刚体运动 + 非均匀缩放 + 剪切」，它强制平行线仍然平行；透视是「把平面以任意角度摆到相机前」，平行线会汇聚到灭点——这正是人眼透视感的来源，也是文档扫描、车牌识别、AR 贴图的全部数学基础。

全文路线图：§1 把保真度阶梯钉死 → §2 仿射的 6 自由度分解 → §3 透视的 8 自由度与灭点 → §4 从对应点求解（DLT，函数背后在算什么）→ §5 API 参数陷阱 → §6 三个实战（旋转不裁剪 / 文档扫描 / 仿射配准）→ §7 常见错误清单 → §8 性能与内存。

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1 · 几何变换的「保真度」阶梯

理解两种变换，最该记住的是不变量（invariant）：

• 仿射不变：三点共线仍共线；两线平行仍平行；一条线上线段的长度比不变；任意区域面积比恒定（等于 $|\det A|$）；线段中点仍是中点。
• 透视不变：只有「共线 → 共线」（直线仍是直线）和「四点共线时的交比 cross-ratio」不变。平行、长度比、面积比全丢。

用一个直觉判断该用谁：如果你能假设物体在「无限远平面」上、相机正对它（无透视倾斜），用仿射；如果物体在地面上、相机俯拍、或者是一张被斜着拍的纸，必须上透视。

交互版 W1/W2 把这条直接画出来：W1 用滑块调仿射（旋转/缩放/剪切），看单位方格如何变平行四边形却始终保平行；W2 拖拽 4 个角做透视，看原本平行的线如何汇聚到灭点，而交比滑块显示四个共线点的距离比如何被保持。

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2 · 仿射变换（affine）：6 自由度

2.1 矩阵形式

仿射用 $2\times 3$ 矩阵表示（OpenCV 的标准输出），齐次下是 $3\times 3$：

式中线性部分 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，平移 $\mathbf{t}=\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right)$。

6 个未知数 { a,b,c,d,e,f}\{a,b,c,d,e,f\}{ a,b,c,d,e,f} → 6 自由度。

2.2 6 自由度的几何分解

$A$ 可分解为「平移 · 旋转 · 缩放 · 剪切」四个矩阵的乘积（自左向右依次作用）：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 平移贡献 2 自由度（$t_x,$