洛谷刷题之P1002

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分类专栏：洛谷文章标签：图论

于 2024-08-15 08:50:04 首次发布

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[NOIP2002 普及组] 过河卒

题目描述

棋盘上 $A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $C$ 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示， $A$ 点 $(0, 0)$ 、 $B$ 点 $(n, m)$ ，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $B$ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

样例 #1

样例输入 #1

6 6 3 3

样例输出 #1

提示

对于 $\%$ 的数据， $\le n, m \le 20$ ， $\le$ 马的坐标 $≤20\le 20$ 。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

题目详解

这道题用暴搜可以得60分

60分代码如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int xb, yb, x2, y2;
bool flag[30][30];
int gox[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int goy[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};

void read()
{
    flag[xb][yb] = 1;
    for (int i = 0; i < 8; i++)
    {
        int xx = xb + gox[i];
        int yy = yb + goy[i];
        flag[xx][yy] = 1;
    }
}

bool check(int x, int y)
{
    return (x <= x2 && x >= 0 && y <= y2 && y >= 0 && flag[x][y] == 0);
}

int ans = 0;
void dfs(int x, int y)
{
    if (x == x2 && y == y2)
    {
        ans++;
    }
    if (check(x + 1, y))
    {
        dfs(x + 1, y);
    }
    if (check(x, y + 1))
    {
        dfs(x, y + 1);
    }
}
void solve()
{
    dfs(0, 0);
    cout << ans << endl;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>x2>>y2>>xb>>yb;
    read();
    solve();
    return 0;
}

正解为dp
因为他只能往右或下走，所以我们记录 $dp_{i,j}$ 表示从起点到达第 $i$ 行第 $j$ 列所有的路径条数
转移方程 $:$ 当过河卒不在马的控制范围时 $:$ $dp_{i,j}$ = $dp_{i-1,j}$ $+$ $dp_{i,j-1}$
注：过河卒从(0,0)出发，所以我们可以把终点位置和马的位置都+1，从(1,1)出发，要不然容易超限

$dp_{1,1}=1$ ;

100分代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int xb, yb, x2, y2; // 这里x0,x1,y0,y1容易报错
bool flag[30][30];
int gox[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int goy[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
int dp[30][30];

bool check(int x, int y) // 这个必须要加，因为容易超限
{
    return (1 <= x && x <= x2 && y >= 1 && y <= y2);
}
void yu()
{
    xb++, yb++; // 这里要++因为后面的循环无法从0开始
    flag[xb][yb] = 1;
    for (int i = 0; i < 8; i++)
    {
        int xx = xb + gox[i];
        int yy = yb + goy[i];
        if (check(xx, yy))
            flag[xx][yy] = 1;
    }
}

void solve()
{
    for (int i = 1; i <= x2; i++) // 注意i是到x2+1结束
    {
        for (int j = 1; j <= y2; j++) // 注意j是到y2+1结束
        {
            if (i == 1 && j == 1)
            {
                if (!flag[i][j])
                    dp[i][j] = 1;
                continue;
            }
            if (!flag[i][j])
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
    }
    cout << dp[x2][y2] << endl;
}
signed main()
{
    cin >> x2 >> y2 >> xb >> yb;
    x2++;
    y2++;
    yu();
    solve();
    return 0;
}