UPC 走廊泼水节 逆Kruskal

问题 F: 走廊泼水节

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题目描述

【简化版题意】给定一棵N个节点的树，要求增加若干条边，把这棵树扩充为完全图，并满足图的唯一最小生成树仍然是这棵树。求增加的边的权值总和最小是多少。
我们一共有N个OIER打算参加这个泼水节，同时很凑巧的是正好有N个水龙头(至于为什么，我不解释)。N个水龙头之间正好有N-1条小道，并且每个水龙头都可以经过小道到达其他水龙头(这是一棵树，你应该懂的..)。但是OIER门为了迎接中中的挑战，决定修建一些个道路(至于怎么修，秘密~),使得每个水龙头到每个水龙头之间都有一条直接的道路连接(也就是构成一个完全图呗~)。但是OIER门很懒得，并且记性也不好，他们只会去走那N-1条小道，并且希望所有水龙头之间修建的道路，都要大于两个水龙头之前连接的所有小道(小道当然要是最短的了)。所以神COW们，帮那些OIER们计算一下吧，修建的那些道路总长度最短是多少，毕竟修建道路是要破费的~~

 

输入

多组数据~
第一行t，表示有t组测试数据
对于每组数据
第一行N，表示水龙头的个数（当然也是OIER的个数）；
2到N行，每行三个整数X,Y,Z；表示水龙头X和水龙头Y有一条长度为Z的小道

 

输出

对于每组数据，输出一个整数，表示修建的所有道路总长度的最短值。

 

样例输入

复制样例数据

2
3
1 2 2
1 3 3
4
1 2 3
2 3 4
3 4 5

样例输出

4
17

 

提示

第一组数据，在2和3之间修建一条长度为4的道路，是这棵树变成一个完全图，且原来的树依然是这个图的唯一最小生成树.
每个测试点最多10组测试数据
50%n<=1500;
100%n<=6000
100%z<=100
 

 

[提交][状态]

思路：将边从小到大排序，按顺序扫描，对每一个（x, y, z），假设ｘ所在并查集为Sx，ｙ所在并查集为Sy，合并Sx，Sy

假设Sx包含一点ｕ，Sy包含一点ｖ，不等于（ｘ，ｙ），那么要完成的完全图中ｕ，ｖ之间必须要增加一条边，而为了保证最小生成树不变且唯一，又要保证生成的完全图边最小，那么增加的这条边长度应是ｚ＋１

为了保证完全图，Sx与Sy中的每一点都需连起来，那么对Sx与Sy来说，贡献为（num[ Sx ] * num[ Sy ] - 1）*（ z + 1 ）

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e4 + 100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct node {
    int u, v;
    ll d;
} e[maxn];
int fa[maxn];
ll num[maxn];

bool cmp(node a, node b) {
    return a.d < b.d;
}

int Find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = Find(fa[x]);
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i < n; i++)
            scanf("%d%d%lld", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].d);
        sort(e + 1, e + n, cmp);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            fa[i] = i;
            num[i] = 1;
        }
        ll ans = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int fx = Find(e[i].u), fy = Find(e[i].v);
            if (fx == fy) continue;
            ans += (num[fx] * num[fy] - 1) * (e[i].d + 1);
            fa[fx] = fy;
            num[fy] += num[fx];
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}