AcWing 25. 剪绳子

题目描述

给你一根长度为 nn 绳子，请把绳子剪成 mm 段（mm、nn 都是整数，2≤n≤582≤n≤58 并且 m≥2m≥2）。

每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]k[1] … k[m] 可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

样例

输入：8

输出：18

算法

查资料网上搜看的好多都说是动态规划或贪心算法，表示没看懂，我只能是找规律找出来的。

设f(n)代表长度为n的绳子剪成若干段的最大乘积，如果第一刀下去，第一段长度是i，那么剩下的就需要剪n-i，那么f(n)=max{f(i)*f(n-i)}，n取1,2,3,......,n-1。下面开始找规律： 

n	i	所有可能切法	n	f(n)	说明
1					不用想了，没得切
2	1	1*1=1		2(不切)	切1刀最大乘积为1，不切
3	1,2	1*2=2*1=2		3(不切)	切1刀最大乘积为2，不切
4	1,3	1*3=3*1=3		4(不切)	切1刀最大乘积为4，不切
	2	2*2=4
5	1,4	1*4=4*1=4
	2,3	2*3=3*2=6	5	3*2=6	切1刀最大乘积为6
6	1,5	1*f(5)=f(5)*1=1*2*3=6
	2,4	2*4=4*2=8
	3,3	3*3=9	6	3*3=9	切1刀最大乘积为9
7	1,6	1*f(6)= f(6)*1=1*3*3=9
	2,5	2*f(5)=f(5)*2=2*3*2=12	7	3*4=12	切2刀最大乘积为12
	3,4	3*4=4*3=12			切1刀最大乘积为12
8	1,7	1*f(7)=f(7)*1=1*3*4=1*2*2*3=12
	2,6	2*f(6)=f(6)*2=2*3*3=18	8	3*3*2=18	切2刀最大乘积为18 切2刀最大乘积为18
	3,5	3*f(5)= f(5)*3=2*3*3=18
	4,4	4*4=16
9	1,8	1*f(8)=f(8)*1=1*2*3*3=18
	2,7	2*f(7)=f(7)*2=2*3*4=24
	3,6	3*f(6)=f(6)*3=3*3*3=27	9	3*3*3=27	切2刀最大乘积为27
	4,5	4*f(5)=f(5)*4=2*3*4=24

  可以看出当n>=5时才有必要进行切割，且进行切割时优先考虑3，例如n=8时，4*4<3*3*2，因此，n对3取余后只有0,1,2三种情况，余0说明正好3的倍数，余1时，因为3*1<4，所以我们可以取出一个3凑成4来使乘积更大。

大概就是这个，可能这是最笨的理解方法了φ(>ω<*) 

Python3 代码

### Python3 代码
class Solution(object):
    def maxProductAfterCutting(self,length):
        """
        :type length: int
        :rtype: int
        """
        if length == 2:
            return 1
        product = 1
        while(length >= 5):
            product *= 3
            length -= 3
        return product * length

最后附上大神们写的动态规划or贪心算法--剪绳子/切割杆，OVER！