复杂度计算

法复杂度是在《数据结构》这门课程的第一章里出现的,因为它稍微涉及到一些数 学问题,所以很多同学感觉很难,加上这个概念也不是那么具体,更让许多同学学起来无从下手,下面我们就这个问题给各位考生进行分析。

 

首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度。前者是某个算 法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在 算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关。 但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。

常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:常数阶O(1){Hash表的查 找}、对数阶O(log2n){二分查找}、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n){快速排序的平均复杂度}、平方阶O(n^2){冒泡排序}、 立方阶O(n^3){求最短路径的Floyd算法}、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n){汉诺塔}。

下面我们通过例子加以说明,让大家碰到问题时知道如何去解决。
1、设三 个函数f,g,h分别为 f(n)=100n^3+n^2+1000 , g(n)=25n^3+5000n^2 , h(n)=n^1.5+5000nlgn
请判断下列关系是否成立:
(1) f(n)=O(g(n))
(2) g(n)=O(f(n))
(3) h(n)=O(n^1.5)
(4) h(n)=O(nlgn)
这里我们复习一下渐近时间复杂 度的表示法T(n)=O(f(n)),这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的 两个函数,则T(n)=O(f(n))表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤T(n)≤C?f(n)。"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常 数。这么一来,就好计算了吧。

(1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数 的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的。
(2)成立。与上同理。
(3)成立。与上同理。
(4)不成立。由于当n→∞时 n^1.5比nlgn递增的快,所以h(n)与nlgn的比值不是常数,故不成立。

2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数。
(1) i=1; k=0
while(i<n)
{ k=k+10*i;i++;
}
解答:T(n)=n-1, T(n)=O(n), 这个函数是按线性阶递增的。
(2) x=n; // n>1
while (x>=(y+1)*(y+1))
y++;
解答:T(n)=n1/2 ,T(n)=O(n1/2), 最坏的情况是y=0,那么循环的次数是n1/2次,这是一个按平方根阶递增的函数。
(3) x=91; y=100;
while(y>0)
if(x>100)
{x=x-10;y--;}
else x++;
解答: T(n)=O(1), 这个程序看起来有点吓人,总共循环运行了1000次,但是我们看到n没有? 没。这段程序的运行是和n无关的,就算它再循环一万年,我们也不管他,只是一个常数阶的函数。

规则:有如下复杂度关系

c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意。

我们常需要描述特定算法相对于 n(输入元素的个数 )需要做的工作量。在一组未排序的数据中检索,所需的时间与 n成正比;如果是对排序数据用二分检索,花费的时间正比于logn。排序时间可能正比于n^2或者nlogn。

我们希望能够比较算法的运行时间和空间要求,并使这种比较能与程序设计语言、编 译系统、机器结构、处理器的速度及系统的负载等复杂因素无关。

为了这个目的,人们提出了一种标准的记法,称为“大O记法”.在这种描述中使用 的基本参数是 n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数 。这里的“O”表示量级 (order),比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O ( f(n) )表示当n增大时,运行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。 例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函 数的算法必然工作得更快   




 

以上三条单个语句的频度均为 1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。

算法的时间复杂度为常数阶,记 作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

 

例 2.1. 交换i和j的内容

 

1 ) sum = 0 ;             (一 次)
2 )  for (i = 1 ;i <= n;i ++
)   (n次 )
3 )     for (j = 1 ;j <= n;j ++ ) (n ^
2次 )
4 )         sum ++ ;       (n ^
2次 )


解:T(n)
= 2n ^ 2 + n + 1   = O(n ^ 2 )

 

例 2.2.

解:语句1的频度是n-1, 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1.
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2,该程序的时间复杂度 T(n)=O(n^2).

例 2.3. 

 

a = 0 ;b = 1 ;      ①
for  (i = 1 ;i <= n;i ++
) ②
{
  s
= a +
b;    ③  
  b
=
a;     ④
  a
=
s;     ⑤
}



解:语句1的频度:
2 ,        语句2的频度: n,        语句3的频度: n - 1 ,        语句4的频度:n - 1 ,    
语句5的频度:n
- 1 ,                                  则:T(n) = 2 + n + 3 (n - 1 ) = 4n - 1 =
O(n).

 

例 2.4.

 

i=1;       ①
while
 (i<=n)
i=i*2; ②

解:语句1的频度是1,        设语句2的频度是 f(n),        则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
取最大值f(n)= log2n,则该程序的时间复杂度T(n)=O(log2n )

 

例 2.5


for(i=0;i<n;i++)

...{

for(j=0;j<i;j++)

...{

for(k=0;k<j;k++)

x=x+2;

}

}





解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k

当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次

所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6

所以时间复杂度为O(n^3).



我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间 是O(n^2),但期望时间是O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值,我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn)时间运行。

下面是一些常用的记法:

访问数组中的元素是常数时间操作,或说O(1)操作。一个算法如果能在每个步骤 去掉一半数据元素,如二分检索,通常它就取O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3),因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起,所有元素的个数是n^2。

指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如,n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了,除非n的值非常小,因为,在这个问题中增加一个元素就 导致运行时间加倍。不幸的是,确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题”),到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况, 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

<think>嗯,用户想知道如何计算算法的时间和空间复杂度。我得先回忆一下相关知识。记得时间复杂度和执行次数有关,对吧?比如说,循环的次数会影响时间复杂度。比如一个单层循环,执行n次的话,时间复杂度应该是O(n)。如果是嵌套循环,比如两层循环,那可能就是O(n²)了。但有时候循环次数不是简单的n次,比如可能有变量变化,这时候需要仔细分析循环条件。 然后,空间复杂度的话,主要是看算法运行时占用的额外空间。比如,如果算法里用了数组,数组的长度是n,那空间复杂度就是O(n)。不过像递归这种情况,要考虑调用栈的深度,递归的深度如果是n的话,空间复杂度就是O(n)。 用户提供的引用里提到,时间复杂度用大O表示法,关注的是执行次数的量级,而不是精确时间。这很重要,比如忽略常数项和低次项,只保留最高阶的项。比如3n² + 2n +5,这里的时间复杂度就是O(n²)。 另外,引用里还提到快速排序的时间复杂度平均是O(n log n),最坏是O(n²),空间复杂度是O(log n)到O(n)。这说明不同的算法结构会导致不同的复杂度。需要根据具体代码结构来分析。 可能还需要举几个例子,比如常见的时间复杂度类型:O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n²)等。比如二分查找是O(log n),因为每次循环数据量减半。而冒泡排序是O(n²)因为双重循环。 用户可能需要具体的计算步骤,比如如何从代码中推导出复杂度。例如,找出循环的层数和循环变量的变化方式。如果是递归的话,可能需要用递归方程来解时间复杂度,比如主定理之类的。 还要注意空间复杂度中的临时变量和递归调用栈的情况。比如斐波那契数列的递归实现,空间复杂度是O(n),因为每次递归调用都会占用栈空间。 总结的话,应该分步骤说明时间复杂度和空间复杂度计算方法,用例子来展示,比如循环、条件语句、递归等情况下的处理方式,并引用提供的资料来支持解释。同时,可能还需要提醒用户常见错误,比如忽略循环条件的变化或者递归深度的影响。</think>### 算法时间复杂度和空间复杂度计算方法 #### 一、时间复杂度计算 **定义**:算法中基本操作的执行次数,表示输入规模$n$的增长率关系,用大$O$符号表示[^2][^3]。 **核心步骤**: 1. **统计基本操作次数** 例如:循环中的操作次数、条件判断的执行频率。 ```python for i in range(n): # 执行n次 print(i) # 基本操作次数为n ``` 此时时间复杂度为$O(n)$。 2. **分析循环结构** - **单层循环**:若循环次数为$n$,时间复杂度为$O(n)$。 - **嵌套循环**:若两层循环次数均为$n$,时间复杂度为$O(n^2)$。 ```python for i in range(n): # 外层循环n次 for j in range(n): # 内层循环n次 print(i, j) # 总次数为n×n = n² ``` 3. **处理条件分支** 取分支中时间复杂度最高的路径: ```python if condition: for i in range(n): # O(n) else: print("no loop") # O(1) ``` 最终时间复杂度为$O(n)$。 4. **递归算法** 通过递推公式或主定理计算。例如快速排序平均时间复杂度为$O(n \log n)$[^5]。 **常见时间复杂度分类**(从优到劣): - $O(1)$:常数时间(如数组访问) - $O(\log n)$:对数时间(如二分查找) - $O(n)$:线性时间(如遍历数组) - $O(n \log n)$:线性对数时间(如归并排序) - $O(n^2)$:平方时间(如冒泡排序) --- #### 二、空间复杂度计算 **定义**:算法运行过程中临时占用的存储空间大小,同样用大$O$表示[^4]。 **核心步骤**: 1. **统计额外空间使用** 例如:数组、变量、递归调用栈。 ```python arr = [0] * n # 占用O(n)空间 ``` 2. **分析递归调用** 递归深度决定空间复杂度。例如斐波那契数列递归实现的空间复杂度为$O(n)$[^4]: ```python def fib(n): if n <= 1: return n return fib(n-1) + fib(n-2) # 递归深度为n,调用栈空间O(n) ``` 3. **忽略低阶项和常数** 例如同时使用$O(n)$和$O(1)$空间,最终空间复杂度为$O(n)$。 **常见空间复杂度示例**: - $O(1)$:原地排序(如冒泡排序) - $O(n)$:需要额外数组(如归并排序) - $O(\log n)$:快速排序递归栈[^5] --- #### 三、对比示例 | 算法 | 时间复杂度(平均) | 空间复杂度 | |------------|--------------------|-------------| | 冒泡排序 | $O(n^2)$ | $O(1)$ | | 快速排序 | $O(n \log n)$ | $O(\log n)$ | | 二分查找 | $O(\log n)$ | $O(1)$ | ---
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