[翻译]ACMer 2013 Daily Training- 9th Mar for 11x&&12x

最新推荐文章于 2014-03-26 11:53:52 发布

原创最新推荐文章于 2014-03-26 11:53:52 发布 · 1.2k 阅读

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本文介绍了一系列有趣的数学游戏和算法挑战，包括构造算术表达式达到目标数、寻找勾股数对、猜数字游戏、确定最大三角形区域、判断树路径总和、优化矩阵乘法顺序、安排工作减少罚款以及通过数字序列推断密码。

[A] Game Show Math

在英国有一个数学游戏，给参赛者一些正整数和一个目标数，参赛者必须在这些正整数间插入+、-、*或/ 的符号，使得最后计算的结果等于目标数。计算的方式是由左到右，而且不必管运算的优先顺序（就是不管先乘除后加减那一套）。

在这个数学运算式中，有三个限制：

正整数出现的次序不可改变，也就是要与输入的顺序相同
因为目标数也是一个正整数，所以在运算的过程中，你只有在可以整除的情况下才可以使用/ 。
在运算的过程中，如果你用某一个运算符号，会导致产生的数超出（-32000 ～ +32000）的范围，那么你不可以采用此运算符号。（也就是说在运算的过程中都不该有超出范围的数出现）

Input

第一列有1个整数n，代表接下来有多少组测试资料。

每组测试资料一列。每列的第一个整数p（0 < p <= 100），代表要做运算的数有多少个。接下来有p个正整数，每列的最后一个数为目标数。所有的数都小于32000。

请参考Sample Input。

Output

每列测试资料输出一列运算式，使得输入的p个正整数运算的结果等于目标数。如果找不到这样的运算式，请输出"NO EXPRESSION"。如果有多组运算式可以达成任务，请输出任何一组均可。

请参考Sample Output。

Sample Input

3
3 5 7 4 3
2 1 1 2000
5 12 2 5 1 2 4

Sample Output

5+7/4=3 
NO EXPRESSION
12-2/5*1*2=4

[B] Fermat vs. Pythagoras

著名的费马大定理是指：当n>2时，x ⁿ +y ⁿ =z ⁿ 无整数解，这边我们要处理的问题跟费马大定理有点关系。给你一个正整数N，你的任务是算出两个与方程式x ² +y ² =z ²的解相关的数字。( 0 < x < y < z <= N ) 第一个数字是互质的数对(triples) (x,y,z)数目。互质是指x、y、z没有大于1的公因数。第二个数字p是在小于等于N的数字内不属于任何数对(x,y,z)的正整数总数，这边x、y、z不需要互质。例如，N=10，可找到一组互质数对(3,4,5)及一组不互质的数对(6,8,10)， 1、2、7、9共4个数字没用到。所以N=10要输出1与4。

Input

输入含有多组测试资料，每组测试资料一列，有一个正整数N （1 <= N <= 1000000）

Output

输出一列，含两个整数，如题目所述，数字中间以一个空白字元分隔。

Sample Input	Sample Output
10 25 100 500 1000000	1 4 4 9 16 27 80 107 159139 133926

Translated by Latinboy

[C] Master-Mind Hints

Master-Mind是一种2个人的游戏。其实就是学生常玩的几A几B的游戏（规则或许有些许不同）。其中一个人担任出题者，他选一串1到9数字当作密码（可以重复）。另一个人为解题者，他要去猜密码为何。解题者每次猜测后，出题者以某种格式回答他这次猜的结果。

在游戏开始之前，双方先协议密码的长度，假设是n。在出题者设定密码（s ₁ ,s ₂ ,...s _n）后，由解题者来猜（g ₁ ,g ₂ ,...g _n）。如果同样位置g _i =s _i，那解题者得到一个A。如果g_i =s _j，但i不等于j，那解题者得到一个B。请注意：不管是得A或得B，每个g _i最多只能对应到一个s _j，而且得A比得B优先。举例说明：密码为1 2 3 4，若猜题者猜1 1 5 6，那出题者应该回答1A0B，而不是0A1B。

如果某个猜测得到nA0B，那就代表猜题者完全猜中密码了。

Input

输入含有多组测试资料。每组测试资料的第一列含有1个正整数N（N <= 1000），代表密码的长度。第二列有N个1到9的数字，代表密码。接下来有数量不等的猜测，每个一列，亦含有N个1到9的数字。若此猜测的N个数字均为0，代表此组测试资料结束。

N=0代表整个输入结束。请参考Sample Input。

Output

对每一组测试资料，输出这是第几组。然后输出出题者回答猜题者各个猜测的结果是几A几B，以（A,B）的形式表示。请参考Sample Output。

Sample Input

4
1 3 5 5
1 1 2 3
4 3 3 5
6 5 5 1
6 1 3 5
1 3 5 5
0 0 0 0
10
1 2 2 2 4 5 6 6 6 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 1 3 1 5 1 6 1 9
1 2 2 5 5 5 6 6 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0

Sample Output

Game 1:
    (1,1)
    (2,0)
    (1,2)
    (1,2)
    (4,0)
Game 2:
    (2,4)
    (3,2)
    (5,0)
    (7,0)

[D] Myacm Triangles

在古代的Myacm文化中，考古学家发现存在有一些柱子（从4到15根），这些柱子形成的区域称为力场。然而，大部分的古文物都被发现存在于一种power triangle中，也就是位于3根柱子形成的区域，并且在这个区域中（包括边线）没有任何其他的柱子存在，而且这块区域的面积是所有符合前面条件的区域中最大的一块。每一个力场只会有一个power triangle。

现在你的任务就是给你这些柱子的座标资料，要请你帮助考古学家们找到power triangle。

给你一个很有用的公式: ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ), ( x ₃ , y ₃ )此3个点所形成的面积为以下式子的绝对值。

0.5 × [( y ₃- y ₁ )( x ₂- x ₁ ) - ( y ₂- y ₁ )( x ₃- x ₁ )]

Input

每组测试资料的第1列有1个整数n（4 <= n <= 15），代表此力场中柱子的数目。接下来的n列每列有柱子的编号及座标。柱子的编号从A开始，所有的座标值均是介于0~99的整数。n=0时代表输入结束。最上方的图形即为Sample Input的第1组测试资料。

Output

对每组测试资料请输出形成power triangle的3根柱子的编号，按编号有小到大。

Sample Input

Sample Output

BEF
BCD

[E] Tree Summing

LISP是最早的高阶程式语言之一，而Lists则是LISP中最重要的资料结构。Lists可以很简单的用来表达其他的资料结构，例如：tree。在这个问题中，给你LISP中的S表示式（S-expression），请你写一个程式判断这表示式（整数的二元树）是否存在一条由根节点到树叶的路径，且路径上各节点的值的和为某一特定的数n。例如：在以下的树中共有4条从根到树叶的路径。而各路径的和分别为27,22,26以及18。

在LISP中的S表示式有以下的格式：

empty tree ::= ()
tree ::= empty tree | (integer tree tree)

上图中的树若以S表示式表达为：(5 (4 (11 (7 () ()) (2 () ()) ) ()) (8 (13 () ()) (4 () (1 () ()) ) ) )

注意：在树中所有的叶节点为(integer () () )

既然空树不存在任何根到叶的路径，任何对空树是否有某个和的询问，其答案都是否定的。

Input

输入含有多组测试资料。每组测试资料的开头有一个整数n。接下来为一S表示式。所有的S表示式一定是合法的，但是可能会跨多列，并且可能含有空白字元。请参考Sample Input。

Output

对每一组测试资料输出一列。如果S表示式所表达的树存在一条由根到叶的路径，且路径上节点值的和为n的话，则输出yes，否则输出no。

Sample Input

22 (5(4(11(7()())(2()()))()) (8(13()())(4()(1()()))))
20 (5(4(11(7()())(2()()))()) (8(13()())(4()(1()()))))
10 (3 
     (2 (4 () () )
        (8 () () ) )
     (1 (6 () () )
        (4 () () ) ) )
5 ()

Sample Output

yes
no
yes
no

[F] Matrix Chain Multiplication

假设你必须做A*B*C*D*E的运算，在这里A,B,C,D,E都是矩阵（matrix）。由于矩阵相乘具有连结性（associative），所以相乘的顺序可以是任意的。然而所需要的基本乘法数却与不尽相同。

例如：A是个50*10的矩阵，B是个10*20的矩阵，C是个20*5的矩阵。那么就有2种不同的表示式来求出A*B*C。分别是(A*B)*C和A*(B*C)。而其所需用到的基本乘法数前者为15000次，后者为3500次。

给你某一种矩阵相乘的表示式，你的任务是写一个程式算出需要多少个基本乘法。

Input

输入分为2部分。第一部份为矩阵的资料，第二部分为矩阵相乘的表示式。

第一列有一个整数n（1<= n <= 26），代表在输入的第一部份有多少个矩阵。接下来的n列每列为一矩阵的资料。内容为1个大写英文字母及2个整数，分别代表矩阵的名字，栏数（rows）及列数（columns）。

输入的第二部分每列为一测试资料，内容为矩阵相乘的表示式。表示式严格的遵守以下的语法（以EBNF的形式）

SecondPart = Line { Line } <EOF>
Line = Expression <CR>
Expression = Matrix | "(" Expression Expression ")"
Matrix = "A" | "B" | "C" | ... | "X" | "Y" | "Z"

请参考Sample Input。

Output

对输入第二部分的每组测试资料输出一列。如果该表示式为不合法的矩阵相乘，则输出error。否则请输出此表示式所需的乘法次数。请参考Sample Output。

Sample Input

9
A 50 10
B 10 20
C 20 5
D 30 35
E 35 15
F 15 5
G 5 10
H 10 20
I 20 25
A
B
C
(AA)
(AB)
(AC)
(A(BC))
((AB)C)
(((((DE)F)G)H)I)
(D(E(F(G(HI)))))
((D(EF))((GH)I))

Sample Output

[G] Shoemaker's Problem

鞋匠有N件工作要完成。他每天只能做一件工作。并且他知道这些工作分别要几个工作天才能完成。另外，他也知道每个工作被延误一天所需被罚的罚金。延误的天数为从今天算起到该工作开始的那天（所以只有第一件工作没有罚金）。

以第一组测试资料为例说明：若工作的顺序是1 2 3 4，那罚金为：0*4+1000*3+4*2+6*5=3038。若工作的顺序是2 1 3 4，则罚金为：0*1000+1*4+4*2+6*5=42。所以第二种工作顺序的罚金较少（事实上也是最少）。

你的任务是写一个程式帮助鞋匠找出完成这N个工作的先后顺序，使得罚金最少。

Input

输入的第一列有一个整数代表以下有几组测试资料。

每组测试资料的第一列，含有一个整数N（1 <= N <=1000），代表鞋匠需完成的工作数。接下来的N列每列有2个整数，分别代表该工作完成所需的天数以及延迟一天的罚金多少（均大于等于1,小于等于1000）。

第一列和第一组测试资料间，以及各组测试资料间均有一空白列。请参考Sample Inout。

Output

对每组测试资料输出一列，为这N个工作的顺序使得罚金最少。工作之间以一空白字元分隔。如果有不只一组答案，请输出字典顺序最小的那组。

各组测试资料间亦请输出一空白列。请参考Sample Outout。

Sample Input	Sample Output
2 4 3 4 1 1000 2 2 5 5 5 3 4 1 1000 8 8 2 2 5 6	2 1 3 4 2 1 5 3 4

[H] A min-summer night's dream

现在是西元2200年，在这200 年间，科学已经向前迈进许多。提到200年，是因为这个问题已经藉由时光机回到西元2000年。在西元2200年时直接把人和电脑处理器连接的科技是办得到的。人们可以在3D 显示器（就是现在的萤幕）上看到他人的梦，就好像在看一部电影。问题是，这个世纪的人们太依赖电脑了，于是人们分析的能力渐趋于0。现在的电脑可以自动地读进问题，并进一步地解决它。但是电脑只能解决难的问题，目前并没有简单的问题。

我们的科学领导人遇到一个很大的问题，他忘掉了他的密码锁的号码，基于安全性考量，目前的电脑无法解决密码锁的问题。在一个仲夏夜里，科学家做了一个梦，梦里他看到许多数字飞来飞去。他把这些数字纪录在电脑上。接着他想到有一个线索，假如数字列为（X ₁ , X ₂ , … , X _n）他必须找到一个整数A（A就是他密码锁的密码）使得（ |X ₁ -A| + |X ₂ -A| + … … + |X _n -A|）为最小。

Input

输入包含多组测试资料。每一组测试资料以一个数字n（0 < n <= 1000000）开始，n 代表在梦中他看到的数字个数。接下来为这n 个数字，这些数字都大于等于0，小于65536。

Output

对每一组测试资料输出一列。这一列有3个数字。第一个数字为A最小的可能值为多少。第二个数字为输入中有多少个数字和A 有相同的性质（就是能满足上述的条件者）。第三个数字为A可能有多少种可能的不同值（这些不同的数字不必印出来）。这三个数字中间以一个空白来分隔。