43、量子计量学：从理论到实践

量子计量学：从理论到实践

1. 量子态的统计距离与动力学演化

在量子世界中，我们首先需要定义两个量子态相对于测量的统计距离。假设非简并测量基为 ${|φ_1⟩, \ldots, |φ_m⟩}$，两个概率分布分别为：
- $p_1(j) = |⟨ψ_1|φ_j⟩|^2$
- $p_2(j) = |⟨ψ_2|φ_j⟩|^2$

对应的振幅为：
- $r_1(j) = |⟨ψ_1|φ_j⟩|$
- $r_2(j) = |⟨ψ_2|φ_j⟩|$

概率振幅构成超球面上单位向量的分量，两个这样向量的欧几里得距离由向量间的夹角给出：
$s(ψ_1, ψ_2) = \max\left{\arccos\left(\sum_{j}|⟨ψ_1|φ_j⟩||⟨φ_j|ψ_2⟩|\right)\right}$

当测量可观测量的一个基向量等于其中一个态时，如 $|φ_1⟩ = |ψ_1⟩$，统计距离变为：
$s(ψ_1, ψ_2) = \arccos (|⟨ψ_1|ψ_2⟩|)$

这是希尔伯特空间中两条射线 $|ψ_1⟩$ 和 $|ψ_2⟩$ 之间的夹角。

有了量子态之间距离的明确概念，我们可以探讨量子演化中统计距离的变化速度，即动力学演化的最大速度。演化速度 $v$ 可正式定义为：
$v(t) \equiv \frac{ds}{dt}$

更一般地，考虑 $\theta$ 作为动力学参数，我们有：
$v(\theta)^2 = \left(\frac{ds}{d\theta}\right)^2 = F(\theta) \leq \frac{4}{\hb