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分类专栏： NOIP 算法

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本文介绍了一种高效的素数筛选算法，并进一步展示了如何利用类似的方法快速生成欧拉函数表及求解最大公约数等问题。此外，还探讨了扩展欧几里得算法的应用，包括求解特定类型的不定方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

//筛法求MAXN范围以内的素数表，其中需要借用一个bool数组vis  
void prime_table()   
{  
    int i,j;  
    for(i = 2;i <= MAXN;i++)  
    {  
        if(!vis[i])  
        {  
            prime[++cnt] = i;                //cnt为素数计数器  
            for(j = i*i;j <= MAXN;j += i)  
                vis[j] = true;  
        }  
    }  
}

//高效算法同时打出prime表与phi表，比单独用筛法打出phi表与prime表快3倍左右
void prime_phi_table()
{
    int i,j;
    phi[1] = 1;
    for(i = 2;i <= MAXN;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= MAXN;j++)
        {
            vis[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

//求n的欧拉函数值  
int phi(int n)  
{  
    int t = sqrt(n + 0.5);  
    int ans = 1;  
    for(int i = 2;i <= t;i++)  
    {  
        if(n % i == 0)  
        {  
            ans *= (i-1);  
            n /= i;  
            while(n % i == 0)  
            {  
                ans *= i;  
                n /= i;  
            }  
        }  
        if(n == 1) break;  
    }  
    if(n > 1) ans *= (n-1);  
    return ans;  
}

//求a与b的最大公约数，其中b > a  
int gcd(int a,int b)   
{  
    if(a > b) swap(a,b);  
    while(a)  
    {  
        int t = b % a;  
        b = a;  
        a = t;  
    }  
    return b;  
}

//扩展欧几里得，ax + by = c,求出x,y的一组整数解,d = gcd(a,b),当 c % d != 0时，无整数解  
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)  
{  
    if(!b) {d = a; x = 1; y = 0;}  
    else {  
            exgcd(a%b,a,d,y,x);  
            y -= x*(a/b);  
    }  
}

<pre name="code" class="cpp">//在上述不定方程中，若方程为ax + by = gcd(a,b)，当求出一组整数解x0,y0后  
//关于x,y的通解则有:x = x0 + b/d * k , y = y0 - a/d * t (t为任意整数)  
[cpp] view plain copy
<pre name="code" class="cpp">//由于模运算的特殊性，在计算(a / b) % m 时，当a、b太大需要事先取模，此时该式不能直接写为:  
// ((a % m) / (b % m)) % m  
// 而是需要先算出 ax≡1(mod m),此时x为a的逆元。这个式子等价于ax + my = 1(此时gcd(a,b)必须为1，否则无解)  
// 此时使用扩展欧几里得即可解决：exgcd(a,m,d,x,y);当m为质数时,x = (a^(m-2)) % m;  
//但求出来的x可能为负数，需要写成(x + m) % m  
// 最终式子为 (a / b) % m = a * x % m

//对整数n进行唯一分解，A[cnt].prime为n的第cnt个质因子,A[cnt].num为该质因子的指数  
void dissolve(int n)  
{  
    int i;  
    int t = sqrt(n + 0.5);  
    for(i = 2;i <= t;i++)  
    {  
        if(n % i == 0)  
        {  
            cnt++;  
            A[cnt].prime = i;  
            while(n % i == 0)  
            {  
                A[cnt].num++;  
                n /= i;  
            }  
        }  
        if(n == 1) break;  
    }  
    if(n > 1)                     //若n为质数  
    {  
        cnt++;  
        A[cnt].prime = n;  
        A[cnt].num = 1;  
    }  
}

//求1~n行的组合数，即杨辉三角表,注意，为了防止数组越界，此时C(0,0)为数组第一行，且第n行代表C(n-1,k)  
void Make_up_num_table(int n)  
{  
    C[1][1] = 1;  
    C[2][1] = 1; C[2][2] = 1;  
    for(int i = 3;i <= n;i++)  
        for(j = 1;j <= i;i++)  
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];  
}  
[cpp] view plain copy
//求第n行的组合数，和杨辉三角的区别是这个只求一行但是为O(n)的时间复杂度  
//注意，这个函数出于求解方便，第n行代表的是C(n,k)且是从0开始存，与上一个函数不同  
void Make_up_num(int n)  
{  
    A[0] = 1;  
    for(int i = 1;i <= n;i++)  
        A[i] = A[i-1] * (n - i + 1) / i;  
}