关于进制的求解

关于进制的求解这类题，一般是两个数相乘得出另一个数，求解这个等式的进制。有例题如下：

1、假设在n进制下，下面的等式成立：15*4=112，n的值是（A）

A、6         B、8           C、9         D、10     

注释：等式左边的两个数的个位相乘，得出的数除以n求余等于右边数字的个位。在本题中（5*4）%n=2，刚好为只有6符合条   件，答案为A。

    

2、假设在n进制下，下面的等式成立：456*567=150216，n的值是（）

A、9             B、10             C、12             D、18

注释：在一般较为简单的题目里，对等式两边的个位数进行处理就可以得出结论，但是在本题中，（6*7）%n=6，单是处理个位数的出来的结果又A、C、D三个。这时，仅处理一个数是不够的，需要进行进一位的处理。

解题过程：

    假如上面的等式是十进制，在十进制中，两数相乘可以写成（4*10^2+5*10^1+6*10^0）*（5*10^2+6*10^1+7*10^0）

    同理，在不知道进制的情况下，上式可以写成：

       （4*n^2+5n+6）*（5*n^2+6n+7）=

        20n^4+49n^3+88n^2+71n+42=n^4+5n^4+2n^2+n+6           （1）

    又因为（6*7）%n=6，取余为6，所以该式的进制n>6。两边同时%n，42%n=6%n=6

         42%n=6            （2）

    两边同时除以n，再同时进行取余%n

        （71+42/n）%n=（1+6/n）%n=1    （42/n，42里面逢n进一，仅求出整数）

        （71+42/n）%n=1               （3）

   再将A、C、D、中的值带入（3）进行运算，可以得出n=18，答案为D

结论：在一般进制考试的题目中，通常需要对两边等式的后两位进行处理，较为简单的题目，例如题目1，只用对个位数相乘取余便可得出结果。在得出等式（1）时可以简单处理，只得出 71n+42，再对式子左右两边进行取余，大致步骤如上所示。若题目更加复杂，需要更加进一位处理，其处理步骤如上，只需将‘两边除以n，再同时进行取余%n’这一步骤多进行一次。