30、神经网络鲁棒性验证与格理论下的可达性分析

神经网络鲁棒性验证与格理论下的可达性分析

1. 引言

在模型检查领域，属性导向可达性（PDR，也称为 IC3）是一种用于证明或反驳安全问题的算法。它最初被应用于软件和硬件模型检查，并在后续得到了多方面的扩展。不过，原始的 PDR 算法存在一定局限性，它假设系统由表示转换关系的二元谓词给出，这使得目标系统局限于定性和非确定性系统。虽然 PrIC3 算法克服了部分局限性，将目标拓展到了概率系统，但 PDR 算法仍有进一步泛化的空间。

为了解决这一问题，提出了基于格理论的 PDR 算法的泛化版本——LT - PDR。该算法能应用于更广泛的安全问题，包括定性和定量问题，并且还衍生出了适用于马尔可夫奖励模型的新算法。

2. 预备知识

2.1 偏序集与格

设 $(L, ≤)$ 为偏序集，$(L, ≤)^{op}$ 表示其相反偏序集 $(L, ≥)$。若 $(L, ≤)$ 是完备格，那么 $(L, ≤)^{op}$ 同样是完备格。在 $L$ 中，$\omega$ 链（resp. $\omega^{op}$ 链）是指 $N$ 索引的递增（resp. 递减）元素族。单调函数 $F : L → L$ 若能保持 $\omega$ 链的上确界（resp. $\omega^{op}$ 链的下确界），则称其为 $\omega$ 连续（resp. $\omega^{op}$ 连续）。

2.2 完备格中的不动点

设 $(L, ≤)$ 是完备格，$F : L → L$ 是单调函数。在分析 $F$ 的不动点时，前置/后置不动点起着关键作用。
- 前置不动点 ：满足 $Fx ≤