14、控制与系统工程中的数学工具及可观测性分析

控制与系统工程中的数学工具及可观测性分析

在控制与系统工程领域，数学工具扮演着至关重要的角色。本文将深入探讨离散时间系统的状态空间表示、时间离散化方法以及系统可观测性的评估。

1. 离散时间系统的状态空间表示

离散时间系统可以用差分方程来描述，其一般形式为：
[y(k)+a_{d,1}y(k - 1)+\cdots+a_{d,n}y(k - n)=b_{d,0}u(k)+\cdots+b_{d,n}u(k - n)]
其中，下标 (d) 用于区分这些系数与连续时间表示中的系数。

离散时间系统也存在状态空间表示，向量差分方程和输出方程可以写成：
[\begin{cases}
\mathbf{x}(k + 1)=\mathbf{A}_d\mathbf{x}(k)+\mathbf{B}_d\mathbf{u}(k) \
\mathbf{y}(k)=\mathbf{C}\mathbf{x}(k)+\mathbf{D}\mathbf{u}(k)
\end{cases}]
这里，(\mathbf{A}_d) 和 (\mathbf{B}_d) 中的下标 (d) 表明参数矩阵包含离散时间表示的参数。根据之前讨论的步骤，从差分方程开发任何系统的状态空间表示是直接的。此外，离散时间系统也存在控制器和观测器的规范形式。

2. 状态空间表示系统的精确时间离散化

将连续时间状态空间表示转换为离散时间表示时，输出矩阵 (\mathbf{C}) 和前馈矩阵 (\mathbf{D}) 在转换过程中保持不变，因为输出方程是代数方程。

对于连续形式的非代数向量状态空间方程，我们寻求一