8、零知识证明：原理、构建与应用

零知识证明：原理、构建与应用

1. 零知识证明基础概念

1.1 可靠性（Soundness）

存在一个可忽略函数 $\epsilon$，对于任意 $x \notin L$ 和任意敌手 $P^ $，有 $Pr[\langle P^ , V \rangle(x) = 1] < \epsilon(|x|)$。这意味着，当 $x$ 不在语言 $L$ 中时，敌手 $P^*$ 成功欺骗验证者 $V$ 的概率是可忽略的。

1.2 完备性（Completeness）说明

上述完备性要求是比较自然的，但在某些情况下可能过于严格，有时允许以可忽略的概率失败。

1.3 可靠性说明

上述可靠性要求能保护诚实的验证者，即使面对无界的恶意证明者。一种较为宽松但仍然非常有用的可靠性要求关注的是证明者 $P^*$ 在多项式时间内运行的实验。这种“计算可靠”的证明系统被称为论证系统。大多数关于证明系统的内容同样适用于论证系统。显然，证明系统的正面结果对论证系统也有效；而证明系统的负面结果对论证系统可能不成立，因为论证系统的要求较低。

1.4 概率多项式时间（PPT）证明者和验证者说明

一些研究方向探讨了完备性考虑无界计算能力的诚实证明者（需要见证值）和/或无界计算能力的诚实验证者的情况。为了简单和具体起见，我们总是假设证明者 $P$ 和验证者 $V$ 是高效的。

1.5 知识证明

可靠性要求仅考虑 $x \notin L$ 的情况。有些情况下，一个声明不可能为假，此时可靠性就没有用处。还有些情况，不仅要求证明者 $P$ 能说服验