7、基于分层分块数组的并行数值求解器

基于分层分块数组的并行数值求解器

在科学计算和工程领域，线性方程组的求解是一个常见且关键的问题。为了提高求解效率，人们提出了许多算法和技术。本文将介绍SPIKE算法及其两种变体TU和TA，以及如何使用分层分块数组（Hierarchically Tiled Arrays，HTA）来实现这些算法。

1. SPIKE算法概述

SPIKE算法是一种用于求解线性方程组的并行算法，其核心步骤如下：
1. 分解矩阵A的对角块 ：对矩阵A的对角块进行LU或UL分解。
2. 计算尖峰和右侧向量 ：利用上一步得到的分解结果计算尖峰（spikes），并求解相关方程得到右侧向量。
3. 形成并求解简化系统 ：根据尖峰和右侧向量形成简化的线性方程组，并求解该方程组。
4. 计算其余解 ：根据简化系统的解计算原方程组的其余解。

SPIKE算法的核心公式如下：
定义向量：
[
V_j =
\begin{bmatrix}
V^{(t)} j \
V’_j \
V^{(b)}_j
\end{bmatrix}
,
W_j =
\begin{bmatrix}
W^{(t)}_j \
W’_j \
W^{(b)}_j
\end{bmatrix}
,
x_j =
\begin{bmatrix}
x^{(t)}_j \
x’_j