Opengl-变换&矩阵

最新推荐文章于 2024-12-29 20:16:57 发布

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向量

定义： 向量是一个既有大小又有方向的量（联系位移和速度的概念）

理解向量把握:

向量的大小就是向量的长度（模）,向量的长度非负
向量的方向描述了向量的指向
向量是没有位置的，与点是不同的
向量与标量不同，变量是只有大小而没有方向的量，例如位移是向量，而距离是标量

在这里插入图片描述

向量与标量运算

标量(Scalar) 只是一个数字（或者说是仅有一个分量的向量）。当把一个向量加/减/乘/除一个标量，我们可以简单的把向量的每个分量分别进行该运算。对于加法来说会像这样:

在这里插入图片描述

向量取反

对一个 向量取反(Negate) 会将其 方向逆转

Alt

向量加减

向量的加法 可以被定义为是 分量的(Component-wise)相加，即将一个向量中的每一个分量加上另一个向量的对应分量

Alt

向量的减法 等于加上第二个向量的 相反向量

Alt

三角形法则
Alt

长度

Alt

** 单位向量(Unit Vector)** : 单位向量有一个特别的性质——它的长度是1

任意向量的每个分量除以向量的长度得到它的单位向量n：

Alt

我们把这种方法叫做一个 向量的标准化(Normalizing)。单位向量头上有一个^样子的记号,通常单位向量会变得很有用，特别是在我们只关心方向不关心长度的时候（如果改变向量的长度，它的方向并不会改变）。

向量点乘

点积有两种定义方式：代数方式 和 **几何方式 **

代数定义

Alt

几何定义

Alt

应用：
使用点乘可以很容易测试两个向量是否 正交(Orthogonal) 或平行（正交意味着两个向量互为直角）;

可以快速计算出两个向量的夹角

Alt

叉乘

叉乘只在 3D空间 中有定义，它需要两个 不平行向量 作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量

Alt

注意叉乘结果的方向需要根据 右手规则 来确定。所谓右手规则是指，将向量a与b放在同一个起点时，当右手的四个手指从a所指方向转到b所指方向握拳时，大拇指的指向即为a×b的方向

Alt

几何意义
叉乘的模可以视为以a和b为两边的平行四边形的面积,

|A x B| = |A||B|Sin(θ)

其中|b|sinθ可以视为平行四边形的高，计算后a×b的模即为平行四边形的面积
Alt

矩阵的概念

Alt

行向量和列向量

Alt

矩阵加减法

Alt

标量和矩阵乘法

Alt

矩阵和矩阵乘法

Alt

注意矩阵乘法不满足交换律一般而言矩阵乘积AB≠BA（当然存在特殊情况下满足,逆矩阵相乘为单位矩阵），因此在OpenGL中应用变换矩阵时注意变换应用的顺序。

矩阵与向量相乘

矩阵和向量相乘是矩阵和矩阵相乘的特例，给定矩阵A和列向量v

Alt

单位矩阵

单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的 N×N 矩阵

Alt

缩放

Alt

位移

Alt

齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

向量的w分量也叫 齐次坐标 。想要从齐次向量得到3D向量，我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题，因为w分量通常是1.0。使用齐次坐标有几点好处：它允许我们在3D向量上进行位移（如果没有w分量我们是不能位移向量的），而且下一章我们会用w值创建3D视觉效果。

如果一个向量的齐次坐标是0，这个坐标就是方向向量(Direction Vector)，因为w坐标是0，这个向量就不能位移（译注：这也就是我们说的不能位移一个方向）。

向量和点在同一个基下有不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。

https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html

旋转

Alt

在3D空间中旋转需要定义一个角和一个 旋转轴(Rotation Axis)。物体会沿着给定的旋转轴旋转特定角度

Alt

万能公式
其中(Rx,Ry,Rz)代表任意旋转轴：
Alt

旋转矩阵推导https://blog.youkuaiyun.com/u012763833/article/details/52605747

实践

GLM

GLM是OpenGL Mathematics的缩写，它是一个 只有头文件 的库,拥有绝大多数的矩阵操作功能

glm::vec4 vec(1.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));
vec = trans * vec;
std::cout << vec.x << vec.y << vec.z << std::endl;

glm::mat4 trans;
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0, 0.0, 1.0));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5, 0.5, 0.5));

把矩阵传递给着色器

#version 330 core
layout (location = 0) in vec3 aPos;
layout (location = 1) in vec2 aTexCoord;

out vec2 TexCoord;

uniform mat4 transform;

void main()
{
    gl_Position = transform * vec4(aPos, 1.0f);
    TexCoord = vec2(aTexCoord.x, 1.0 - aTexCoord.y);
}

unsigned int transformLoc = glGetUniformLocation(ourShader.ID, "transform");
glUniformMatrix4fv(transformLoc, 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(trans));

第一个参数,它是uniform的位置值
第二个参数告诉OpenGL我们将要发送多少个矩阵，这里是1
三个参数询问我们我们是否希望对我们的矩阵进行置换(Transpose),OpenGL开发者通常使用一种内部矩阵布局，叫做列主序(Column-major Ordering)布局。GLM的默认布局就是列主序
最后一个参数是真正的矩阵数据,矩阵首地址