项目反应理论

项目反应理论（item response theory）是属于心理学中认知诊断常用的一种理论，即根据被测试者针对某个问题的答案来对被测者的认知状况进行估计。“项目”实质就是测试题，“反应”就是被测者的答案。也有学者称项目反应理论也是机器学习中的一个类别，即根据被测者对测试题的反应来判定被测者所属的类别。

1、 项目特征曲线

项目特征曲线可用来描述项目（问题）难度与区分度，即项目的难度与区分度是项目的两个维度。下图展示了一个典型的项目（问题）特征曲线。

图中，横坐标表示能力值，纵坐标表示做出该题的概率。显然，能力值越低做出该题的概率越小，能力值越高做出该题的概率越大。

一个项目的难度可以分为[很容易，容易，中等，难，很难]五个层次
一个项目的区分度可以分为[很低，低，中等，高，很高]五个层次
因此，每一个项目都有25种可能的曲线

上图中的项目特征曲线表示中等的难度与中等的区分度，类似地还有中等难度高区分度的曲线等等，详见item response theory。

2、项目特征曲线模型

如何用一个数学表达式来表示项目特征曲线是项目特征曲线建模需要考虑的问题。目前主要有三种模型，这三种模型本质上都属于Logistic。

2.1 Logistic模型

$P(\theta)=\frac{1}{1+e^{-a(\theta-b)}}$

• b：代表项目难度系数，理论上可以取（-$\infty$,+$\infty$）,典型值在[-3,3]之间
• a：代表项目区分度系数，理论上可以取（-$\infty$,+$\infty$），典型值在[-2.8,2.8]之间
• $\theta$：代表能力值

2.2 Rasch模型

Rasch是Logistic模型的一种情况，也称为一个参数的Logistic模型。当Logistic模型中项目区分度a的值为1时，即为Rasch模型。

$P(\theta)=\frac{1}{1+e^{-1(\theta-b)}}$

• b：代表项目难度系数，理论上可以取（-$\infty$,+$\infty$）,典型值在[-3,3]之间
• $\theta$：代表能力值

2.3 三参数模型

$P(\theta)=c+\frac{1-c}{1+e^{-a(\theta-b)}}$

• b：代表项目难度系数，理论上可以取（-$\infty$,+$\infty$）,典型值在[-3,3]之间
• a：代表项目区分度系数，理论上可以取（-$\infty$,+$\infty$），典型值在[-2.8,2.8]之间
• c：代表猜测参数，猜测参数取值范围是[0,1]，典型值通常超过0.35
• $\theta$：代表能力值

注意：猜测系数与个人能力值无关，也就是高能力与低能力值的被测试者有相同的概率通过猜测答对题目。