[USACO08MAR]Land Acquisition

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

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#动态规划 #斜率优化

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博客围绕土地购买问题展开，先对土地按长和宽排序，用栈筛选出对答案有影响的土地，发现剩余土地按宽度降序，分组应取连续段。最后采用斜率优化动态规划求解，还通过乘法解决精度问题，并给出代码思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

每块土地的长和宽分别用数组 $l$ 和数组 $h$ 表示。
每次买一组土地，需要的花费是最大的长 $\times$ 最大的宽，所以如果存在土地 $i$ 和 $j$ ，满足 $l[j]\ge l[i]$ 且 $h[j]\ge h[i]$ ，土地 $i$ 就不会对答案产生影响。
因此，我们先将土地按长度从小到大排序，若长度相同按宽度从小到大排序。然后维护一个栈，将排序后的土地按次序加入，每次处理一块土地时先把当前栈中宽小于等于当前土地的土地删除。最后栈中留下的就是会对答案产生影响的土地。
我们可以发现，剩下的土地是按宽度降序排列的，那么给土地分组时一定是取连续的一段。因为这组土地的花费为第一块土地的宽度 $\times$ 最后一块土地的长度，如果从中间分出一段来，会保留原来的花费并产生新的花费。
之后就是斜率优化 $dp$ 了，根据直线的交点的横坐标大小来判断优劣，我用了乘法来解决精度问题。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define rt return
#define N 1000005
using namespace std;
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
il int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x+(x<<2)<<1)+c-48;
    return x*f;
}
struct A{
    ll w,l;
}a[N];
ll f[N],k[N],b[N],q[N];
int n,cnt,h=1,t=1;
il bool cmp(A x,A y){
    rt (x.l==y.l)?x.w<y.w:x.l<y.l;
}
il double calc(int i,int j){rt f[j]+a[j+1].w*a[i].l;}
il bool slope(int x,int y,int z){rt (b[z]-b[x])*(k[y]-k[x])-(b[y]-b[x])*(k[z]-k[x])>=0;}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i].w=read(),a[i].l=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(cnt&&a[i].w>=a[cnt].w) --cnt;
        a[++cnt].w=a[i].w,a[cnt].l=a[i].l;
    }
    k[0]=a[1].w;
    for(int i=1;i<=cnt;++i){
        while(h<t&&calc(i,q[h])>=calc(i,q[h+1])) ++h;
        f[i]=calc(i,q[h]),k[i]=a[i+1].w,b[i]=f[i];
        while(h<t&&slope(q[t-1],q[t],i)) --t;
        q[++t]=i;
    }
    return !printf("%lld",f[cnt]);;
}