[组合数学]康托展开

写在前面

康托展开 是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

通俗一点来说就是 每一个排列 都代表 一个自然数
表示他在 所有排列中 的 排名

很明显可以用暴力搜索，此处不过多阐述

正文

主要讲解康托展开的实现以及逆康托展开的实现，推荐习题 P1088【火星人】

公式

康托展开 ：
$X=a_n(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+...+a_1\cdot 0$
其中, $a_i$ 为整数,并且 $0<a_i<i,1<i<n$
$a_i$ 表示原数的第i位在当前未出现的元素中是排在第几个

举个例子

康托展开

就举个例子吧
$n=5$
{$1，4，2，5，3$} 是一个排列

第一位有 $n$ 种选择，然而第二位只有 $n-1$ 种选择，第三位有 $n-2$ 种选择，第四位有 $n-3$ 种选择，第五位只有 $n-4$ 种选择
乘起来刚好是 $n!$
于是每一位都对应一个进制， 第一位是 $n$ 进制，第二位是 $n-1$ 进制，$...$ ，第五位是 $n-4$ 进制，于是得到规律：第 $i$ 位的进制 是 $n-i+1$

这时我们使用康托展开即可得到一个 $unknown$ 进制数（因为每一位的进制不一样）

流程如下 ：
         ~~~~~~~~         第五位 ：1 在 剩下的数 {1 ,2 ,3 ,4 ,5} 里排名为 : 0 ，第一位为 0
         ~~~~~~~~         第四位 ：4 在 剩下的数 {2 ,3 ,4 ,5} 里排名为 : 2 ，第二位为 2
         ~~~~~~~~         第三位 ：2 在 剩下的数 {2 ,3 ,5} 里排名为 : 0 ，第三位为 0
         ~~~~~~~~         第二位 ：5 在 剩下的数 {3 ,5} 里排名为 : 1 ，第四位为 1
         ~~~~~~~~         第一位 ：第五位为 0
可得 { 02010 } u n k n o w n {\{02010\}}_{unknown} {02010}unknown​，也可以算出来自然数 $X$

逆康托展开

原理 ： 一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。

假如有这么一个数 { 23010 } u n k n o w n {\{23010\}}_{unknown} {23010}unknown​ ，求他映射的全排列

流程倒着来即可，自然数的话见康托展开
         ~~~~~~~~         第一位 ： {1 ,2 ,3 ,4 ,5} 里排名为 2 的是 3 ，第一位为 3
         ~~~~~~~~         第一位 ： {1 ,2 ,4 ,5} 里排名为 3 的是 5 ，第二位为 5
         ~~~~~~~~         第一位 ： {1 ,2 ,4} 里排名为 0 的是 1 ，第三位为 1
         ~~~~~~~~         第一位 ： {2 ,4} 里排名为 1 的是 4 ，第四位为 4
         ~~~~~~~~         第一位 ： {2} 里排名为 0 的是 2 ，第五位为 2

可得排列 $35142$

后记

错误请帮忙指出
谢谢大家

——2020.9.13