边缘分布初探

最近在调研域自适应学习的时候，接触到了分布假设，即源域与目标域的边缘分布和条件分布均不同。条件分布由于用得比较多，大家应该比较熟知；而边缘分布用的比较少，在这里记录下边缘分布的定义，备忘。
##边缘分布的定义

1、定义 1

设$F(x,y)$为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x,y)=P\{X\leq x, Y\leq y\}F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，分别称
　　P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)≜FX(x)P\{X\leq x\} = P\{X\leq x, Y <\infty \} = F(x,\infty)\triangleq F_X(x)P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)≜FX​(x)
　　 P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)≜FY(y)P\{Y\leq y\} = P\{X< \infty, Y \leq y\} = F(\infty,y)\triangleq F_Y(y)P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)≜FY​(y)
　　 为二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数。

2、定义 2

设二维离散型随机变量 $(X,Y)$的联合分布律为
　　P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}, i,j=1,2,\cdotsP{X=xi​,Y=yj​}=pij​,i,j=1,2,⋯
　　记
　　pi⋅=∑j=1∞pij=P{X=xi},i=1,2,⋯p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^\infty p_{ij}=P\{X=x_i\}, i=1,2,\cdotspi⋅​=∑j=1∞​pij​=P{X=xi​},i=1,2,⋯
　　 p⋅j=∑i=1∞pij=P{Y=yj},j=1,2,⋯p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^\infty p_{ij}=P\{Y=y_j\}, j=1,2,\cdotsp⋅j​=∑i=1∞​pij​=P{Y=yj​},j=1,2,⋯
　　 分别称$p_{i\cdot }(i=1,2,\cdots )$ 和 $p_{\cdot j}(j=1,2,\cdots )$为二维离散型随机变量$(X,Y)$关于X和关于Y的边缘分布律。

3、几何意义

这里选择定义1进行解释：由定义1，二维随机变量$(X,Y)$可视为平面上的随机点（为方便，随机点与随机变量可视为等同），二维随机变量$(X,Y)$的（联合）分布函数F(X,Y)=P{X≤x,Y≤y}F(X,Y)=P\{X\leq x, Y\leq y\}F(X,Y)=P{X≤x,Y≤y}的几何意义显然是随机点$(X,Y)$落在平面区域{(x,y)∣X≤x,Y≤y}\{(x,y)|X\leq x, Y\leq y\}{(x,y)∣X≤x,Y≤y}内发生的概率，见图１。
　　二维随机变量$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数$F_X(x)$表示平面上的随机点$(X,Y)$落在平面直线$X=x$ 左边平面区域内（含直线）{(x,y)∣X≤x,Y<∞}\{(x,y)|X\leq x, Y<\infty\}{(x,y)∣X≤x,Y<∞}发生的概率，见图２。
　　$(X,Y)$关于$Y$的边缘分布函数$F_Y(y)$表示平面上的随机$(X,Y)$落在直线$Y=y$下边平面区域内（含直线）{(x,y)∣X<∞,Y≤y}\{(x,y)| X<\infty,Y\leq y\}{(x,y)∣X<∞,Y≤y}发生的的概率，见图３。