该题目来自cdsn的一位网友(可见http://blog.youkuaiyun.com/thebestdavid/article/details/11975809),具体内容如下:
在黑板上写下50个数字:1至50.在接下来的49轮操作中,每次做如下动作:选取两个黑板上的数字a和b,擦去,在黑板上写|b - a|。请问最后一次动作之后剩下数字可能是什么?为什么?
答案:该题有25种可能,即50以内的25个奇数都可以是答案。
证明:
1. 首先证为什么答案是奇数
令 S = 1+2+···+50 = 51*25 = 1275。每一次执行|b-a|操作,相当于是在S中减去两倍的min(a,b),即相当于执行操
作S = S - 2 * min(a,b),也相当于在S中每次减掉一个偶数,因为S为奇数,所以执行49轮操作后,剩下的数字是个奇数。
2. 证明50以内的所以25个奇数都有可能
在证明之前我们先看4个规律:
规律一:四个连续的自然数按题目所述的操作后可以使结果为0
设有四个连续的自然数n,n+1,n+2,n+3 (n>=0),则可以通过(n+3)- (n+2)= 1,(n+1) - 1 = n,n - n =0,三步操作来得到0.
规律二:两段连续的数:n,n+1,n+2和m,m+1,m+2(1<=n<n+2<m)按题目所述的操作后可以使结果为m-n
按题目的操作进行m-n=m-n,(m+1)-(n+1)=m-n,(m+2)-(n+2)=m-n,(m-n)-(m-n)=0,(m-n)- 0=m-n.
规律三:在50以内形式为4i+1(i>=0)的奇数N总可以找到一个形式也为4i+1的奇数M(M可以等于N),使得M+N=50
令 N = 4i+1(i>=0),则 50 - (4i+1)= 49-4i = 48-4i+1=4*12 -4i+1=4*(12-i)+1=4j+1,这里因为N为50以内的数,所以j>=0,即0<4j+1<50.
规律四:在50以内形式为4i+3(i>=0)的奇数N总可以找到一个形式也为4i+3的奇数M,使得M+N=50
令 N = 4i+3(i>=0),则 50 - (4i+3)= 47-4i = 44-4i+3=4*11 -4i+3=4*(11-i)+3=4j+3,这里因为N为50以内 的数,所以j>=0,即0<4j+3<50.
下面我们将50以内的所有奇数分为两类,即4i+1(如1,5)和4i+3(如3,7)。
(1)证n=4i+1(i>=0)奇数的可能性,即1,5,9,···,49
由规律三可以找到一个奇数m=4j+1(j>=0),使得n+m=50,则有1,2,3, ···,m,···,50,显然在m前面的连续自然数有4j+1-1=4j个,这部分可以由规律一变为0;在m到50中间的连续自然数有50-(4j+1)-1=48-4j=4*(12-j),这部分数也可以由规律一变为0。此时,只剩m和50,执行50-m =n。
(2) 证n=4i+3(i>=0)奇数的可能性,即3,7,11,···,47
由规律四可以找到一个奇数m=4j+3(j>=0),使得n+m=50,则可以得到如规律二的两组数m-2,m-1,m和48,49,50。m-2=4j+1前面有4j个数,利用规律一变为0;m到48之间有48-(4j+3)-1=44 - 4j = 4*(11-j)个数,也可以利用规律一变为0,剩下的上面的m-2,m-1,m,48,49,50六个数,利用规律二可以得到50-m=n。
以上只是我自己想到的一种证明方法,欢迎大家提出更好的方法,一起学习交流。