非典型前缀和两道

560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 nums 和一个整数 k ，请你统计并返回 该数组中和为 k 的子数组的个数 。

子数组是数组中元素的连续非空序列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1], k = 2
输出：2

示例 2：

输入：nums = [1,2,3], k = 3
输出：2

提示：

• 1 <= nums.length <= 2 * 104
• -1000 <= nums[i] <= 1000
• -107 <= k <= 107

这道题一开始最自然的思路当然是前缀和+滑动窗口，但注意到这道题是可能出现负数的，这意味着滑动窗口是行不通的，因为正常来说我们是窗口内数的和比目标值大就收缩（右指针++），反之小则扩大（左指针++），唯有数列内全为正数才能保证收缩或扩张是有效的，否则收缩过程中排除一个负数，窗口内的和值反而变大了。所以我们换一种我平常不太敢走的思路：

我们建立哈希表 mp，以和为键，出现次数为对应的值，记录 s[i] 出现的次数，从左往右边更新 mp 边计算答案，那么以 i 结尾的答案 mp[s[i]−k] 即可在 O(1) 时间内得到。最后的答案即为所有下标结尾的和为 k 的子数组个数之和。

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int ans = 0;
        int n = nums.size();
        vector<int> s(n+1,0);
        for(int i = 0;i<n;++i)
            s[i+1] = s[i] + nums[i];
        unordered_map<int,int> mp;
        for(int i = 0;i<=n;++i)
        {
            if(mp.find(s[i]-k)!=mp.end())
                ans+=mp[s[i] - k];
            mp[s[i]]++;
        }
        return ans;
    }
};

2588. 统计美丽子数组数目 - 力扣（LeetCode）

给你一个下标从 0 开始的整数数组nums 。每次操作中，你可以：

• 选择两个满足 0 <= i, j < nums.length 的不同下标 i 和 j 。
• 选择一个非负整数 k ，满足 nums[i] 和 nums[j] 在二进制下的第 k 位（下标编号从 0 开始）是 1 。
• 将 nums[i] 和 nums[j] 都减去 2k 。

如果一个子数组内执行上述操作若干次后，该子数组可以变成一个全为 0 的数组，那么我们称它是一个 美丽 的子数组。

请你返回数组 nums 中 美丽子数组 的数目。

子数组是一个数组中一段连续 非空 的元素序列。

示例 1：

输入：nums = [4,3,1,2,4]
输出：2
解释：nums 中有 2 个美丽子数组：[4,3,1,2,4] 和 [4,3,1,2,4] 。
- 按照下述步骤，我们可以将子数组 [3,1,2] 中所有元素变成 0 ：
  - 选择 [3, 1, 2] 和 k = 1 。将 2 个数字都减去 21 ，子数组变成 [1, 1, 0] 。
  - 选择 [1, 1, 0] 和 k = 0 。将 2 个数字都减去 20 ，子数组变成 [0, 0, 0] 。
- 按照下述步骤，我们可以将子数组 [4,3,1,2,4] 中所有元素变成 0 ：
  - 选择 [4, 3, 1, 2, 4] 和 k = 2 。将 2 个数字都减去 22 ，子数组变成 [0, 3, 1, 2, 0] 。
  - 选择 [0, 3, 1, 2, 0] 和 k = 0 。将 2 个数字都减去 20 ，子数组变成 [0, 2, 0, 2, 0] 。
  - 选择 [0, 2, 0, 2, 0] 和 k = 1 。将 2 个数字都减去 21 ，子数组变成 [0, 0, 0, 0, 0] 。

示例 2：

输入：nums = [1,10,4]
输出：0
解释：nums 中没有任何美丽子数组。

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 0 <= nums[i] <= 106

这是一道涉及位运算的很有意思的题目，知道题目真正的意思后，解决方法与上一道题类似。根据题意可以知，由于每次操作中需要从子数组中选择两个不同的数分别减去2^k，使得子数组中所有元素均变为 0，由此可知对于子数组中所有元素2^k出现的次数之和必须是偶数。换一种说法，即对于二进制中第 i 位，则数组中所有元素第 i 位为 1 的数目一定为偶数，则此时满足数组中所有元素第 i 位的异或和一定为0。根据上述推论可知，如果给定的子数组 nums[i⋯j] 为美丽子数组，则此时一定满足:

nums[i]⊕nums[i+1]⊕nums[i+2]⊕nums[i+3]⋯nums[j]=0

此时我们只需要找到满足元素异或值为 0 的子数组即可。假设数组中前 j+1 个元素 nums[0⋯j] 异或的结果为 x，即此时满足：

nums[0]⊕nums[1]⊕nums[2]⊕nums[3]⋯nums[j]=x

此时期望能够计算出以索引 j 为结尾的美丽子数组数目，由于任意数字 x 与 0 异或的结果仍然为 x，即 x⊕0=x，如果此时存在 k 且 k<j，且满足子数组 nums[0⋯k] 异或的结果为 x，即：

nums[0]⊕nums[1]⊕nums[2]⊕nums[3]⋯nums[k]=x

则此时子数组 nums[k+1⋯j] 异或的结果一定为 0，此时子数组 nums[k+1⋯j] 一定为美丽子数组，此时只需要找到数组 nums 满足前缀异或的结果为 x 的数目，即可得到以 j 为结尾的美丽子数组的数目。

class Solution {
public:
    long long beautifulSubarrays(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int, int> cnt;
        int mask = 0;
        long long ans = 0;
        cnt[0] = 1;
        for (int x : nums) {
            mask ^= x;
            ans += cnt[mask]; 
            cnt[mask]++;
        }
        return ans;
    }
};