前缀和算法——思想and例题

什么是前缀和？

✨ 前缀和算法是一种常见的算法思想，主要用于快速计算一个数组中某一段子数组的和。它通过预处理一个前缀和数组，使得后续查询的复杂度从 O(n)降到 O(1)。

以下会分别从一维和二维的角度来解释前缀和算法的思想，从易到难逐步深入。

 一维前缀和（前缀和数组）

☃️ 对于一个数组 a：

定义前缀和数组 s，其中 s[i] 表示数组 a从起点到第 i 个元素的累积和。

公式为： s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]

✴️ 前缀和的应用

利用前缀和数组，计算子数组 a[l] 到 a[r] 的和：

sum(l,r)=s[r]−s[l−1]

前缀和数组例题（来自acwing算法课）

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

代码实现 ：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;

int n,m;
int a[N],s[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)  //为了计算前缀和数组，数组要从下标1开始存
    {
        cin>>a[i];
    }
    
    //计算前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    }
    
    while(m--)  //m个询问
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        int t=s[r]-s[l-1];  //闭区间
        cout<<t<<endl;
    }
    
    return 0;
}

二维前缀和（前缀和矩阵）

前缀和矩阵的定义

给定一个矩阵 a，定义前缀和矩阵 s：

s[i][j]表示矩阵从左上角 a[1][1] 到 a[i][j] 所有元素的累积和。

公式为：

s[i][j]=s[i−1][j]+s[i][j−1]−s[i−1][j−1]+a[i][j]

子矩阵和的计算

对于一个子矩阵的左上角 (x1,y1)和右下角 (x2,y2)，其和为：

sum=s[x2][y2]−s[x1−1][y2]−s[x2][y1−1]+s[x1−1][y1−1]

前缀和矩阵例题（来自acwing算法课）

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

 输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

 代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;

int n,m,q;
int s[N][N],a[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        int t=s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];
        cout<<t<<endl;
    }
    
    return 0;
}

 一些碎碎念

⛳ 你好哇，我是小瑾，在校大学生一位哦~

⛵目前博文包含课程设计、csp刷题、算法介绍、当下科技热点分享、网站软件推荐等等哦，还会更新学习到的深度学习、视觉等方面的知识~

⛄一个希望与大家携手共进的小博主

✍关注我，让你的代码之旅不再孤独