前缀和-求解区间和问题（优化算法）-优快云博客

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（1）795. 前缀和 - AcWing题库（和例题一样，只不过是1_based索引）

（2）796. 子矩阵的和 - AcWing题库（二维前缀和模版题）

（3）开发商购买土地（卡玛网）--二维前缀

一、58. 区间和（第九期模拟笔试）

二、前缀和讲解

（1）什么是前缀和？（一维）

（2）前缀和有什么用？

则题目AC代码为：（0_based索引）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> sum(n,0);//前缀和数组
     for(int i=1;i<=n;i++) {
        int x;
        cin>>x;
        sum[i]=sum[i-1]+x;
     }
     //查询
     int a,b;
     while(cin>>a>>b) cout<<sum[b+1]-sum[a]<<endl;
     return 0;
}

（3）二维前缀和推导

情景：以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。

三、总结

前缀和常用来作为优化算法，注意数组的存储是0_based索引还是1_based索引！

①先计算前缀和

for(int i = 1; i <= n;i++)
{ 
    sum[i] = sum[i - 1] + a[i];   
}

②查询：对于每次查询，只需执行sum[r] - sum[l - 1] ，时间复杂度为O(1)

scanf("%d%d", &l, &r);
 printf("%d\n", sum[r] - sum[l - 1]);  //1_based索引
// printf("%d\n", sum[r+1] - sum[l]);  //0_based索引

四、题目练习

（1）795. 前缀和 - AcWing题库（和例题一样，只不过是1_based索引）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<int> sum(n+1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    //查询
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

（2）796. 子矩阵的和 - AcWing题库（二维前缀和模版题）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    vector<vector<int>> arr(n+1,m+1);
    vector<vector<int>> sum(n+1,vector<int>(m+1,0));
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>arr[i][j];
        }
    }
     for(int i =1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+arr[i][j];//预处理前缀和
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]<<endl;
        
    }
    return 0;
    
}

（3）开发商购买土地（卡玛网）--二维前缀和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//二维前缀和
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<vector<int>> a(n+1,vector<int>(m+1,0));
    vector<vector<int>> s(n+1,vector<int>(m+1,0));
    //输入
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j];
    }
    //计算前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    //划分计算最小差距
    int res=INT_MAX;
    //横着划分
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        //a是a[0][0]----a[i][m]的和
        int resa=s[i][m];
        int resb=s[n][m]-resa;
        res=min(res,abs(resa-resb));

    }
    //竖着划分
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        //a是a[0][0]----a[n][i]的和
        int resa=s[n][i];
        int resb=s[n][m]-resa;
        res=min(res,abs(resa-resb));

    }
    cout<<res;
    return 0;
}