01 背包问题是指,有 n 件物品和一个容量为 m 的背包,第 i 件物品的费用(即体积)为 w[i],价值为 v[i]。要将这些物品装入背包中,使得在满足背包容量限制的情况下,物品的总价值最大。每种物品最多只有一件,可以选择放或不放。
疯狂的采药
题目背景
此题为纪念 LiYuxiang 而生。
题目描述
LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同种类的草药,采每一种都需要一些时间,每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是 LiYuxiang,你能完成这个任务吗?
此题和原题的不同点:
111. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。
222. 药的种类眼花缭乱,采药时间好长好长啊!师傅等得菊花都谢了!
输入格式
输入第一行有两个整数,分别代表总共能够用来采药的时间 ttt 和代表山洞里的草药的数目 mmm。
第 222 到第 (m+1)(m + 1)(m+1) 行,每行两个整数,第 (i+1)(i + 1)(i+1) 行的整数 ai,bia_i, b_iai,bi 分别表示采摘第 iii 种草药的时间和该草药的价值。
输出格式
输出一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
样例 #1
样例输入 #1
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出 #1
140
提示
数据规模与约定
- 对于 30%30\%30% 的数据,保证 m≤103m \le 10^3m≤103 。
- 对于 100%100\%100% 的数据,保证 1≤m≤1041 \leq m \le 10^41≤m≤104,1≤t≤1071 \leq t \leq 10^71≤t≤107,且 1≤m×t≤1071 \leq m \times t \leq 10^71≤m×t≤107,1≤ai,bi≤1041 \leq a_i, b_i \leq 10^41≤ai,bi≤104。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e7+2; // 定义常量 N
long long n, m; // n 为物品数量,m 为背包容量
long long w[N], v[N]; // w[i] 为第 i 件物品的费用(即体积),v[i] 为第 i 件物品的价值
long long dp[N]; // dp[i] 表示容量为 i 的背包所能容纳的最大价值
int main()
{
cin >> m >> n; // 读入背包容量和物品数量
// 读入每件物品的费用和价值
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> w[i] >> v[i];
// 动态规划
for (int i = 1; i <= n; i++) // 遍历每件物品
for (int j = w[i]; j <= m; j++) // 遍历每个容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]); // 更新状态
cout << dp[m] << endl; // 输出答案
return 0;
}
完全背包问题是指,有 n 件物品和一个容量为 m 的背包,第 i 件物品的费用(即体积)为 w[i],价值为 v[i],且有无数件。要将这些物品装入背包中,使得在满足背包容量限制的情况下,物品的总价值最大。
樱花
题目背景
《爱与愁的故事第四弹·plant》第一章。
题目描述
爱与愁大神后院里种了 nnn 棵樱花树,每棵都有美学值 Ci(0≤Ci≤200)C_i(0 \le C_i \le 200)Ci(0≤Ci≤200)。爱与愁大神在每天上学前都会来赏花。爱与愁大神可是生物学霸,他懂得如何欣赏樱花:一种樱花树看一遍过,一种樱花树最多看 Ai(0≤Ai≤100)A_i(0 \le A_i \le 100)Ai(0≤Ai≤100) 遍,一种樱花树可以看无数遍。但是看每棵樱花树都有一定的时间 Ti(0≤Ti≤100)T_i(0 \le T_i \le 100)Ti(0≤Ti≤100)。爱与愁大神离去上学的时间只剩下一小会儿了。求解看哪几棵樱花树能使美学值最高且爱与愁大神能准时(或提早)去上学。
输入格式
共 n+1n+1n+1行:
第 111 行:现在时间 TsT_sTs(几时:几分),去上学的时间 TeT_eTe(几时:几分),爱与愁大神院子里有几棵樱花树 nnn。这里的 TsT_sTs,TeT_eTe 格式为:hh:mm
,其中 0≤hh≤230 \leq hh \leq 230≤hh≤23,0≤mm≤590 \leq mm \leq 590≤mm≤59,且 hh,mm,nhh,mm,nhh,mm,n 均为正整数。
第 222 行到第 n+1n+1n+1 行,每行三个正整数:看完第 iii 棵树的耗费时间 TiT_iTi,第 iii 棵树的美学值 CiC_iCi,看第 iii 棵树的次数 PiP_iPi(Pi=0P_i=0Pi=0 表示无数次,PiP_iPi 是其他数字表示最多可看的次数 PiP_iPi)。
输出格式
只有一个整数,表示最大美学值。
样例 #1
样例输入 #1
6:50 7:00 3
2 1 0
3 3 1
4 5 4
样例输出 #1
11
提示
100%100\%100% 数据:Te−Ts≤1000T_e-T_s \leq 1000Te−Ts≤1000(即开始时间距离结束时间不超过 100010001000 分钟),n≤10000n \leq 10000n≤10000。保证 Te,TsT_e,T_sTe,Ts 为同一天内的时间。
样例解释:赏第一棵樱花树一次,赏第三棵樱花树 222 次。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e7 + 2; // 定义常量 N
int Tsh, Tsm, Teh, Tem; // 定义起止时间
int n, m; // n 为物品数量,m 为背包容量
int w[N], v[N], q[N]; // w[i] 为第 i 件物品的费用(即体积),v[i] 为第 i 件物品的价值,q[i] 为第 i 件物品的数量
int dp[N]; // dp[i] 表示容量为 i 的背包可以获得的最大价值
int te1, te2, ts1, ts2; // 定义临时变量
int main()
{
char cc; // 定义字符变量
cin >> te1 >> cc >> te2 >> ts1 >> cc >> ts2; // 读入起止时间
m = 60 * (ts1 - te1) + ts2 - te2; // 计算背包容量
cin >> n; // 读入物品数量
// 读入每件物品的费用、价值和数量
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> w[i] >> v[i] >> q[i];
// 动态规划
for (int i = 1; i <= n; i++) // 遍历所有樱花
if (q[i] == 0) // 如果数量为 0,则为 01 背包问题
for (int h = w[i]; h <= m; ++h)
dp[h] = max(dp[h], dp[h - w[i]] + v[i]);
else // 如果数量不为 0,则为完全背包问题
{
for (int k = 1; k <= q[i]; ++k)
for (int j = m; j >= k * w[i]; j--)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}
cout << dp[m] << endl; // 输出答案
return 0;
}
[NOIP2012 普及组] 摆花
题目描述
小明的花店新开张,为了吸引顾客,他想在花店的门口摆上一排花,共 mmm 盆。通过调查顾客的喜好,小明列出了顾客最喜欢的 nnn 种花,从 111 到 nnn 标号。为了在门口展出更多种花,规定第 iii 种花不能超过 aia_iai 盆,摆花时同一种花放在一起,且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。
试编程计算,一共有多少种不同的摆花方案。
输入格式
第一行包含两个正整数 nnn 和 mmm,中间用一个空格隔开。
第二行有 nnn 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,依次表示 a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2, \cdots ,a_na1,a2,⋯,an。
输出格式
一个整数,表示有多少种方案。注意:因为方案数可能很多,请输出方案数对 106+710^6+7106+7 取模的结果。
样例 #1
样例输入 #1
2 4
3 2
样例输出 #1
2
提示
【数据范围】
对于 20%20\%20% 数据,有 0<n≤8,0<m≤8,0≤ai≤80<n \le 8,0<m \le 8,0 \le a_i \le 80<n≤8,0<m≤8,0≤ai≤8。
对于 50%50\%50% 数据,有 0<n≤20,0<m≤20,0≤ai≤200<n \le 20,0<m \le 20,0 \le a_i \le 200<n≤20,0<m≤20,0≤ai≤20。
对于 100%100\%100% 数据,有 0<n≤100,0<m≤100,0≤ai≤1000<n \le 100,0<m \le 100,0 \le a_i \le 1000<n≤100,0<m≤100,0≤ai≤100。
NOIP 2012 普及组 第三题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 定义常量 mod
const int mod = 1e6 + 7;
int n, m; // n 为物品数量,m 为背包容量
int q[10005]; // q[i] 为第 i 件物品的数量
int dp[1000005]; // dp[i] 表示容量为 i 的背包可以获得的方案数
int main()
{
cin >> n >> m; // 读入物品数量和背包容量
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> q[i]; // 读入每件物品的数量
dp[0] = 1; // 初始化,dp[0] 表示不选任何物品,方案数为1
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = m; j >= 0; --j) // 从大到小枚举背包容量
for (int k = 1; k <= q[i] && k <= j; ++k) // 枚举当前物品的数量
{
dp[j] = (dp[j] + dp[j - k]) % mod; // 状态转移
}
}
cout << dp[m]; // 输出答案
}
[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案
题目描述
金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过 nnn 元钱就行”。今天一早,金明就开始做预算了,他把想买的物品分为两类:主件与附件,附件是从属于某个主件的,下表就是一些主件与附件的例子:
主件 | 附件 |
---|---|
电脑 | 打印机,扫描仪 |
书柜 | 图书 |
书桌 | 台灯,文具 |
工作椅 | 无 |
如果要买归类为附件的物品,必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 000 个、111 个或 222 个附件。每个附件对应一个主件,附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多,肯定会超过妈妈限定的 nnn 元。于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为 555 等:用整数 1∼51 \sim 51∼5 表示,第 555 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是 101010 元的整数倍)。他希望在不超过 nnn 元的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 jjj 件物品的价格为 vjv_jvj,重要度为wjw_jwj,共选中了 kkk 件物品,编号依次为 j1,j2,…,jkj_1,j_2,\dots,j_kj1,j2,…,jk,则所求的总和为:
vj1×wj1+vj2×wj2+⋯+vjk×wjkv_{j_1} \times w_{j_1}+v_{j_2} \times w_{j_2}+ \dots +v_{j_k} \times w_{j_k}vj1×wj1+vj2×wj2+⋯+vjk×wjk。
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
第一行有两个整数,分别表示总钱数 nnn 和希望购买的物品个数 mmm。
第 222 到第 (m+1)(m + 1)(m+1) 行,每行三个整数,第 (i+1)(i + 1)(i+1) 行的整数 viv_ivi,pip_ipi,qiq_iqi 分别表示第 iii 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 qi=0q_i=0qi=0,表示该物品本身是主件。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
样例输出 #1
2200
提示
数据规模与约定
对于全部的测试点,保证 1≤n≤3.2×1041 \leq n \leq 3.2 \times 10^41≤n≤3.2×104,1≤m≤601 \leq m \leq 601≤m≤60,0≤vi≤1040 \leq v_i \leq 10^40≤vi≤104,1≤pi≤51 \leq p_i \leq 51≤pi≤5,0≤qi≤m0 \leq q_i \leq m0≤qi≤m,答案不超过 2×1052 \times 10^52×105。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 定义常量 N 为 2e5 + 2,即 200002。
const int N = 2e5 + 2;
// 定义数组 p、v、b 分别表示第 i 件物品的价格、价值和是否是套装的标识。
int p[N], v[N], b[N];
// 定义数组 mw、mv 分别表示单件物品的价格和价值。
int mw[N], mv[N];
// 定义数组 fw、fv 分别表示套装的价格和价值。
int ww[N][3], vv[N][3];
// 定义数组 ff 表示前 i 件物品中每种价格对应的最大价值。
int ff[N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
// 读入物品信息。
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> p[i] >> v[i] >> b[i];
// 如果 b[i] 等于 0,说明这是单件物品,就更新 mw[i] 和 mv[i]。
if (!b[i])
{
mw[i] = p[i];
mv[i] = v[i] * p[i];
}
// 否则,b[i] 不等于 0,说明这是套装,就将套装的价格和价值存入 ww[b[i]] 和 vv[b[i]] 中。
else
{
// 将套装的件数加 1。
ww[b[i]][0]++;
// 将第 b[i] 件套装的第 ww[b[i]][0] 件物品的价格和价值存入 ww[b[i]] 和 vv[b[i]] 中。
ww[b[i]][ww[b[i]][0]] = p[i];
// 设置配件总价值
vv[b[i]][ww[b[i]][0]] = v[i] * p[i];
}
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = n; j >= mw[i]; j -= 10)// 从大到小枚举背包容量
{
ff[j] = max(ff[j], ff[j - mw[i]] + mv[i]);
if (j >= mw[i] + ww[i][1])
ff[j] = max(ff[j], ff[j - mw[i] - ww[i][1]] + vv[i][1] + mv[i]);
if (j >= mw[i] + ww[i][2])
ff[j] = max(ff[j], ff[j - mw[i] - ww[i][2]] + vv[i][2] + mv[i]);
if (j >= mw[i] + ww[i][2] + ww[i][1])
ff[j] = max(ff[j], ff[j - mw[i] - ww[i][2] - ww[i][1]] + vv[i][2] + vv[i][1] + mv[i]);
}
}
cout << ff[n];
}