线性代数知识点总结

浅忆へ梦微凉

于 2024-10-14 15:48:10 发布

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分类专栏：基础数学复习文章标签：线性代数

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向量

1.定义

向量可以用多种方式定义，以下是几种常见的定义：

几何定义：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。向量的起点称为原点，终点称为向量的端点。
代数定义：向量是一个有序的数组，通常表示为列向量或行向量。

例如，一个 n 维列向量可以表示为：
$v=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\⋮\\v_{n}\end{pmatrix}$
一个 n 维行向量可以表示为：
$v=\begin{pmatrix}v_{1} & v_{2} & \ldots & v_{n}\end{pmatrix}$
其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。

行向量和列向量再本质上没有区别。

向量的表示

向量可以用多种方式表示，以下是几种常见的表示方法：

几何表示：在二维或三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
代数表示：向量可以用列向量或行向量表示，如上所述。
坐标表示：在二维或三维空间中，向量可以用坐标表示。例如，二维向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 xx 轴和 yy 轴上的分量。

2. 向量的运算

向量有几种基本的运算，包括加法、数乘、点积和叉积。

向量加法

向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的加法为：
$u+v=\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\⋮\\u_{n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\⋮\\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\u_{2}+v_{2}\\⋮\\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}$
向量数乘

向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。例如，一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为：
$kv=k\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\⋮\\v_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}kv_{1}\\kv_{2}\\⋮\\kv_{n}\end{pmatrix}$

向量点积

向量点积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，然后将结果相加，得到一个标量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的点积为：
$u⋅v=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+⋯+u_{n}v_{n}$
例子：

假设有两个向量 u 和 v

$u=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},v=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}$
求u+v，2u，uv

解：
$u+v=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\\9\end{pmatrix}$

$2u=2\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$

$uv=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}=1\times 4 + 2\times 5 + 3\times 6=32$

3.矩阵的特征值和特征向量

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ，使得：
$A v = λ v$
那么 λ 称为矩阵 A的特征值，v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。

注：λ可以为0，而v不能为0，并且v是列向量。因为A是n维矩阵，如果v是行向量，则维数是1xn，不满足矩阵相乘。

将定义中的等式移项，得到：
$(A - λ E) v = 0$
由于v是非零列向量，相当于求上述方程的非零解，由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知：
$\begin{vmatrix}A-λE\end{vmatrix}=0$
说明：(A-λE)：特征矩阵；|A-λE|：特征行列式或特征多项式；|A-λE|=0：特征方程

结论：

1.λ是A的特征值，v是对应λ的一个特征向量，则cv也是λ的一个特征向量，c为不等于0的标量。

根据定义：
$A v = λ v$
等式两边同乘以c
$c A v = c λ v => A (c v) = λ (c v)$
所以cv也是λ的一个特征向量。

例子：

1.假设有矩阵A：
$A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\-4 & 3 & 0\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}$
求A的特征值λ及对应λ的特征向量。

解：根据定义可知：
$\begin{vmatrix}A-λE\end{vmatrix}=0=>\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\-4 & 3 & 0\\1 & 0 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}λ & 0 & 0\\0 & λ & 0\\0 & 0 & λ\end{pmatrix}\end{vmatrix}=0=>\begin{vmatrix} -1-λ & 1 & 0 \\ -4 & 3-λ & 0 \\ 1 & 0 & 2-λ \end{vmatrix}=0$
1.计算行列式：
$\begin{vmatrix} -1-λ & 1 & 0 \\ -4 & 3-λ & 0 \\ 1 & 0 & 2-λ \end{vmatrix}=(2-λ)(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} -1-λ & 1 \\ -4 & 3-λ \end{vmatrix}=(2-λ)(-1)[(1+λ)(3-λ)+4]=(2-λ)(λ-1)^{2}$
所以
$2-λ)(λ-1)^{2}$
所以λ1=2，λ2=λ3=1

2.计算特征向量

当λ=2时
$\begin{pmatrix}λE-A\end{pmatrix}=>\begin{pmatrix} 1+λ & -1 & 0 \\ 4 & λ-3 & 0 \\ -1 & 0 & λ-2 \end{pmatrix}=>\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
将矩阵进行初等行变换，形成行简化阶梯形矩阵
$\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\4 & -1 & 0 \\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\4 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 0\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
可以得出v1=0,v2=0,v3为任意数，取v3=1，所以特征向量
$v=c\begin{pmatrix}0 \\ 0\\1\end{pmatrix},c\neq 0$
当λ=1时
$\begin{pmatrix}λE-A\end{pmatrix}=>\begin{pmatrix} 1+λ & -1 & 0 \\ 4 & λ-3 & 0 \\ -1 & 0 & λ-2 \end{pmatrix}=>\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
将矩阵进行初等行变换，形成行简化阶梯形矩阵
$\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\4 & -2 & 0 \\-1 & 0 & -1\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}-1 & 0 & -1 \\2 & -1 & 0 \\4 & -2 & 0\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
可以得出v1=-v3,v2=-2v3,v3为任意数，取v3=-1，所以特征向量：
$v=c\begin{pmatrix}1 \\ 2\\-1\end{pmatrix},c\neq 0$
练习：

1.假设有矩阵A
$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\-2 & -2 & 4 \\2 & 4& -2\end{pmatrix}$
求A的特征值λ及对应λ的特征向量。

解：根据特征值定义可知：
$|λE-A|=\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}λ & 0 & 0\\0 & λ & 0\\0 & 0 & λ\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\-2 & -2 & 4 \\2 & 4& -2\end{pmatrix}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}λ-1 & 2 & -2 \\2 & λ+2 & -4 \\-2 & -4& λ+2\end{vmatrix}=0$
1.计算行列式
$\begin{vmatrix}λ-1 & 2 & -2 \\2 & λ+2 & -4 \\-2 & -4& λ+2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}λ-1 & 2 & -2 \\2 & λ+2 & -4 \\0 & λ-2& λ-2\end{vmatrix}=(λ-2)\begin{vmatrix}λ-1 & 2 & -2 \\2 & λ+2 & -4 \\0 & 1& 1\end{vmatrix}\\=(λ-2)[(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}λ-1 & -2\\2 & -4\end{vmatrix}+(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}λ-1 & 2\\2 & λ+2\end{vmatrix}]=(λ-2)(λ-2)(λ+7)=0$
所以λ1=λ2=2，λ3=-7

2.计算特征向量

当λ=-7时
$λE-A=\begin{pmatrix}-8 & 2 & -2\\2 & -5 & -4\\-2 & -4 & -5\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 0 & \dfrac{1}{2}\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
可以得出v1=-(1/2)v3,v2=-v3,v3为任意数，取v3=-2，所以特征向量：
$v=c\begin{pmatrix}1 \\ 2\\-2\end{pmatrix},c\neq 0$
同理，当λ=2时
$λE-A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 4 & -4\\-2 & -4 & 4\end{pmatrix}->\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
所以：
$v_{1}=2v_{3}-2v_{2}$
当v2=1,v3=0时，v1=-2；当v3=1，v2=0时，v1=2

所以特征向量为
$v=c_{1}\begin{pmatrix}-2 \\ 1\\0\end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix}2 \\ 0\\1\end{pmatrix},c_{1},c_{2}不同时为0$

4.向量的模

定义

向量 v 的模记作 ∥v∥，计算公式为：
$||v||=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+⋯+v_{n}^{2}}=\sqrt{v\cdot v}$
几何解释

在二维空间中，向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中，向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。

||v||=1，叫做单位向量的模。如：v=(1,0,0)

性质

非负性：∥v∥≥0，并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0（零向量）。
齐次性：对于任意标量 k，∥kv∥=∣k∣∥v∥。
三角不等式：对于任意向量 u 和 v，∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。

例子：

证明以下公式，如果：
$u=\dfrac{1}{||v||}v$
则u为v的单位向量。

证明：
$||u||=\sqrt{(u\cdot u)}=\sqrt{(\dfrac{1}{||v||}v,\dfrac{1}{||v||}v)}=\dfrac{1}{||v||}\sqrt{(v\cdot v)}=\dfrac{1}{||v||}||v||=1$

5.向量的内积

定义

对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它们的内积（点积）表示为 a⋅b，计算公式为：
$a\cdot b=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+⋯+a_{n}b_{n}$

几何解释

在几何上，内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说，如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：
$a\cdot b=||a||||b||cos⁡(θ)$
其中：

∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模（长度）。
cos⁡(θ)是夹角 θ 的余弦值。

性质

交换律：a⋅b=b⋅a
分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
数乘结合律：(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)(，其中 k 是标量。
正定性：a⋅a≥0，并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。

例子：

假设有两个三维向量 a 和 b：

a=(2,3,1)，b=(4,−1,2)

计算a和b的内积。

解：

根据内积的定义，两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和。具体计算如下：

a⋅b=(2⋅4)+(3⋅−1)+(1⋅2)=8-3+2=7

因此，向量 a 和 b 的内积为：

a⋅b=7

几何解释

如果我们要通过几何方法来验证这个结果，可以使用向量的模和它们之间的夹角。假设 θ 是向量 a和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：

a⋅b=∥a∥∥b∥cos⁡(θ)

首先计算向量 a 和 b 的模：
$||a||=\sqrt{2^{2} + 3^{2}+1^{2}}=\sqrt{14}\\ ||b||=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2} + 2^{2}}=\sqrt{21}$
然后使用内积的结果来求 cos⁡(θ)：
$cos⁡(θ)=\dfrac{a\cdot b}{||a||||b||}=\dfrac{7}{\sqrt{14}\sqrt{21}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}=0.408$
结论：