洛谷P1040 [NOIP2003 提高组] 加分二叉树

最新推荐文章于 2025-07-23 21:24:42 发布

buqiming不起名

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文章标签：深度优先算法图论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_69908563/article/details/128996812

文章描述了一道编程竞赛题目，要求构建一个具有特定中序遍历序列的二叉树，使得树及其子树的加分最大。题目涉及二叉树的遍历、动态规划（区间DP）和树的构造。给定节点数量和每个节点的分数，目标是找到最高加分的二叉树并输出其前序遍历。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[NOIP2003 提高组] 加分二叉树

题目描述

设一个 $n$ 个节点的二叉树 $\text{tree}$ 的中序遍历为 $(1,2,3,\ldots,n)$ ，其中数字 $1,2,3,\ldots,n$ 为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 $i$ 个节点的分数为 $d_i$ ， $\text{tree}$ 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 $\text{subtree}$ （也包含 $\text{tree}$ 本身）的加分计算方法如下：

$\text{subtree}$ 的左子树的加分 $\times$ $\text{subtree}$ 的右子树的加分 $+$ $\text{subtree}$ 的根的分数。

若某个子树为空，规定其加分为 $1$ ，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为 $(1,2,3,\ldots,n)$ 且加分最高的二叉树 $\text{tree}$ 。要求输出

$\text{tree}$ 的最高加分。
$\text{tree}$ 的前序遍历。

输入格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数 $n$ ，为节点个数。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数

输出格式

第 $1$ 行 $1$ 个整数，为最高加分（$ Ans \le 4,000,000,000$）。

第 $2$ 行 $n$ 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例 #1

样例输入 #1

5
5 7 1 2 10

样例输出 #1

145
3 1 2 4 5

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $\leq n< 30$ ，节点的分数是小于 $100$ 的正整数，答案不超过 $\times 10^9$ 。

题目分析

题目所给为中序遍历，一个数左边一定为他的左子树，右边为右子树。因此可以将此题转化为区间DP。
DP分析注意特例：
当k=1时，左子树为空，将其左子树分数记为1.
同理右子树也如此。
AC代码：

#include<iostream>

using namespace std;
const int N=1e3+10;
int g[N][N],f[N][N],n;

void dfs(int l,int r)
{
    if(l>r) return ;
    cout<<g[l][r]<<' ';
    dfs(l,g[l][r]-1),dfs(g[l][r]+1,r);
}
int main()
{
    cin>>n;
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>f[i][i],f[i][i-1]=1,g[i][i]=i;
    
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
        for(int i=1;i+len<=n;i++)
        {
            int j=i+len;
            f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][i];
            g[i][j]=i;
            
            for(int k=i+1;k<=j;k++)
            {
                if(f[i][j]<f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])
                {
                    f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];
                    g[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[1][n]<<endl;
    dfs(1,n);
    
}