找零问题-动态规划算法

找零问题是指，给定一个需要找零的金额 nn，以及一组可用的硬币面值 d1,d2,...,dmd1​,d2​,...,dm​，其中 d1<d2<...<dmd1​<d2​<...<dm​，并且每个面值的硬币数量无限。目标是找出使用这些硬币面值组合成总金额 nn 时所需的最少硬币数目。

约束条件：

• 硬币面值为正整数。
• 找零金额必须完全等于给定的 nn。
• 每种面值的硬币可以被使用多次。
• 核心思想包括：

• 最优子结构： 如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则该问题具有最优子结构性质。对于找零问题来说，如果要找零 nn 元，那么找到 n−din−di​ 的最优解后，再加一枚面值为 didi​ 的硬币，即构成 nn 的一个可能的最优解。

• 重叠子问题： 在求解过程中，会遇到相同的子问题多次出现。例如，在不同的阶段都可能需要计算相同金额的最小硬币数。动态规划利用备忘录或表格来存储已经计算过的子问题的结果，从而节省计算时间。

• 递推关系： 设 F[i]F[i] 表示总金额等于 ii 时所需最少的硬币数目，那么有如下递推公式：

  F[i]=min⁡0≤j<mdj≤i(F[i−dj]+1)F[i]=0≤j<mdj​≤i​min​(F[i−dj​]+1)

  其中，djdj​ 是第 jj 种硬币的面值，且 F[0]=0F[0]=0，因为当金额为 0 时不需要任何硬币。

• 边界条件： 当总金额 ii 为 0 时，所需的最少硬币数目显然是 0，即 F[0]=0F[0]=0。

• 在找零问题中，如果输入的找零金额为6，且可用的硬币面值为{1, 3, 4}，那么所需的最少硬币数目是多少？

  • A) 2
  • B) 3
  • C) 4
  • D) 5

  正确答案：A

• 下列哪一项不是找零问题的约束条件？

  • A) 硬币可以无限量使用。
  • B) 必须使用所有给定面值的硬币。
  • C) 找零金额必须完全等于给定的n。
  • D) 硬币面值为正整数。

  正确答案：B

• 动态规划解决找零问题时，时间复杂度是下列哪一个？

  • A) O(n)
  • B) O(nm)
  • C) O(n^2)
  • D) O(m^2)

  正确答案：B