凸包问题-分治法

1.4凸包问题-分治法

分治法（Divide and Conquer）是一种解决凸包问题的有效方法，特别是当点集数目较大时。一个著名的基于分治法的算法是“归并凸包”（Merge Hulls），它与归并排序的思想类似。以下是使用分治法解决二维平面上的凸包问题的一般步骤：

分治法解决凸包问题

1. 分割

• 排序点集：首先按照横坐标对所有点进行排序，如果横坐标相同，则按纵坐标排序。
• 分割点集：将排序后的点集分成两个相等或几乎相等的部分。可以简单地选择中点作为分割点，将点集分为左半部分和右半部分。

2. 递归求解

对每个子集递归应用上述步骤，直到子集中只有三个或更少的点。三点或更少的点集构成的凸包可以直接确定，因为它们要么形成一条线段（两点），要么形成一个三角形（三点）。

3. 合并

合并凸包：这是最复杂的一部分。我们需要将左右两个子凸包合并成一个大的凸包。这涉及到找到上切线和下切线：

• • 上切线：从左凸包最右边的点和右凸包最左边的点开始，向上移动直到找到一条直线，使得所有的点都在这条直线的同一侧。
  • 下切线：同样的过程，但这次向下移动，直到找到下切线。

移除内部点：一旦找到了上下切线，就可以移除这两条线之间的所有其他点，因为这些点不可能是最终凸包的一部分。

连接切线：用上切线和下切线连接两个子凸包，形成一个新的凸包。

4. 终止条件

当递归处理到只剩下一个或两个点时，直接返回这些点作为凸包（单个点或线段）。

算法复杂度

分治法解决凸包问题的时间复杂度通常是 O(nlogn)，其中n是输入点的数量。这个复杂度主要来源于排序步骤和递归调用的合并操作。