【数据结构】6.1树的基本概念和二叉树基本性质-优快云博客

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一.树的基本概念

什么是树？

树，即用一对多的关系来储存数据元素。

当结点数为0时，即为一棵空树。

二.二叉树

什么是二叉树？

每个结点下最多有两棵子树，并且子树之间是有序的，即会分成左孩子和右孩子

对于普通的树来说，上面两棵树是完全一致的，但是对于二叉树来说是不同的。

二叉树的性质

1.结点数和分支数的关系

e (边数） = n (节点数）- 1

非常好理解，因为除了树根之外，每一个结点都会连着一条边

2.第i层的结点数

每一层结点数最小为1，最大为 $eq?2%5E%7Bi-1%7D$

3.最大结点数

对于深度为n的树，最大结点总数为 $eq?2%5E%7Bn%7D-1$

这个直接中学知识等比数列求和公式一算就完事

4.度为0的结点数和度为2的结点数关系

对于非空树，n0 = n2+1

推导过程：

e = n - 1; （边数等于结点数减一）

e = 2n2 + n1;

n = n0+ n1 + n2;

联立以上三式，即可解出n0 = n2 + 1

拓展：

对于度最大为3的树，度为0的结点数为多少？

e = n-1;

n= n0 + n1 + n2 + n3;

e = n1 + 2n2 + 3n3;

联立以上三式解得n0 = n2 + 2n3 +1

可以归纳出规律：

n0 = $eq?%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7D%28i-1%29*n_%7Bi%7D%20+%201$

完全二叉树的特殊性质

完全二叉树和满二叉树的区别

满二叉树（Full Binary Tree）：每个节点要么是叶子节点，要么有两个子节点。换句话说，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。

完全二叉树（Complete Binary Tree）：除了最底层外，每层的节点都必须填满，并且最底层的节点尽可能地向左靠拢。即元素是，从上到下，从左到右，依次填充的。（注意这个依次，就是元素是按照1234..这样的顺序填充的）

1.结点数为n的完全二叉树的深度为[ $eq?%5Clog_%7B2%7Dn$ ]+ 1

2.i结点的双亲，左右孩子结点

对于第i个结点，比如说结点4，它的父母结点为2，它的左孩子为8，右孩子为9

可以归纳出，父母结点的序号为[i/2],左孩子的序号为2i,右孩子的序号为2i+1

3.度为1的结点个数

当结点数为偶数时，度为1的结点数为1；当结点数为奇数时，度为1的结点数就为0

4.叶子结点个数

结点中有[n/2]个结点为非叶子结点

叶子结点数为n-[n/2]

例题：

一棵完全二叉树结点数为234

（1）深度为？

（2）第7层和第8层有多少个结点

（3）叶子结点数，度为1和度为2的结点数各有多少？

当然最后一题还可以直接用234/2 = 117得到叶子结点个数

总结：

性质普通二叉树完全二叉树
1 边数 = 结点数 - 1 边数 = 结点数 - 1
2 第i层上至多有 2^(i-1) 个结点第i层上至多有 2^(i−1）个结点
3 深度为k的二叉树上最多有 2^k -1 个结点深度为k的二叉树上最多有2^k - 1个结点
4 叶子结点数 n0 = n2 + 1 叶子结点数 n0=n2+1
5 无特定深度计算公式深度为 ⌊log⁡2(n)⌋+1
6 无特定公式第i个结点：双亲为 ⌊i/2⌋，左孩子为 2i,右孩子为 2i+1
7 无特定度数关系结点数为偶数时，只有一个度为1的结点；为奇数时，没有度为1的结点
8 无特定叶子结点关系叶子结点数超过 ⌊n/2⌋