多人传球问题

一、问题的引入

  现有甲、乙、丙三人在传球，从甲开始传，每次传给另外两个人中的一个人，总共传 $4$ 次，问一共有多少种传球方式。

  答案为 $6$ 种。分别为：
  甲 $\to$ 乙 $\to$ 甲 $\to$ 乙 $\to$ 甲、
  甲 $\to$ 乙 $\to$ 甲 $\to$ 丙 $\to$ 甲、
  甲 $\to$ 乙 $\to$ 丙 $\to$ 乙 $\to$ 甲、
  甲 $\to$ 丙 $\to$ 甲 $\to$ 乙 $\to$ 甲、
  甲 $\to$ 丙 $\to$ 甲 $\to$ 丙 $\to$ 甲、
  甲 $\to$ 丙 $\to$ 乙 $\to$ 丙 $\to$ 甲。

  对于这类问题，可以直接画树状图解决，但当数大时比较麻烦，而排列组合法也较为麻烦。这时我们考虑使用一种新的方法——递推。

二、递推法的尝试

  在传球的过程中，我们发现甲的球只能由乙或丙传来，而乙和丙的球只能由甲、或乙丙中的另一人传来，这样我们就可以把问题的答案由其子问题得到。

  我们设 $a_n$ 为传球 $n$ 次后传到甲的情况数，$b_n$ 为传球 $n$ 次后传到乙、丙其中一人的情况数，可以得到递推式：$a_n=2b_{n-1}$，$b_n=a_{n-1}+b_{n-1}$。其中 $a_1=0$，$b_1=1$。当数据规模较小时，我们可以直接用递推式一步一步地求到第 $n$ 项，但是这个递推式还可以进行化简。
$$b_n=a_{n-1}+b_{n-1}$$$$b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}$$然后使用特征根法或待定系数法求得通式：$$b_n=\frac{2^n+(-1{)}^{n+1}}{3}$$$$a_n=\frac{2^n+(-1{)}^n\times 2}{3}$$这个式子十分优美，甚至你可以不用光速幂就把答案算出来。

三、方法的扩展

  上面讲解了三人传球问题，那如果有四个人、五个人、六个人……甚至 $m$ 个人，我们依然可以使用这种方法来做！
  我们设 $a_n$ 为传球 $n$ 次后传到甲的情况数，$b_n$ 为传球 $n$ 次后传到其他某人的情况数，可以得到递推式：$a_n=(m-1)b_{n-1}$，$b_n=a_{n-1}+(m-2)b_{n-1}$。其中 $a_1=0$，$b_1=1$。$$b_n=(m-2)b_{n-1}+(m-1)b_{n-2}$$这个式子可以直接用矩阵快速幂来求值，也可以求通式：$$b_n=\frac{(m-1{)}^n+(-1{)}^{n+1}}{m}$$$$a_n=\frac{(m-1{)}^n+(-1{)}^n\times (m-1)}{m}$$这个式子当 $m\ne 3$ 时，你就必须用光速幂了 ！

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿