详解线段树 ---更新查询

目录

一.问题引入

二.线段树

1.什么是线段树

2.线段树的举例

三.构建线段树

1.思路分析

2.代码实现

四.更新

1.思路分析

2.代码实现

五.查询

1.思路分析

2.代码实现

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一.问题引入

有n个整数的数组,我们要 求解下标从left到right的元素之和为多少(query操作),然后还需要更新下标为index的值改为val(update操作),这个时候的时间复杂度为多少.

方法一:对于第一个问题(query)直接相加,这样的时间复杂度为O(n),第二个问题(update)的时间复杂度为O(1)

方法二:如果我们需要多次的query操作,我们是否有方法可以将降低时间复杂度?这个时候最好的办法就是把这n个整数的前缀和数组求解出来,每一次只需要prefix[right]-prefix[left-1]即可求解出来答案,这样的时间复杂度就降到了O(1),但是这个时候update操作的时间复杂度就升到了O(n),因为我们需要对前缀和数组index之后都进行修改.具体可以参考这篇博客看前缀和相关的内容:Java之前缀和算法_java前缀和算法_允歆辰丶的博客-优快云博客

因此当我们采用无论哪一种方法,对于一种操作的时间复杂度可能很低,但是对另外一种操作的时间复杂度是很高的,因此是否可以有一种方法,可能将两种操作的时间复杂度平均一下,当然有,就是我们接下来要介绍的线段树,对于两种操作的时间复杂度都为O(log n);

二.线段树

1.什么是线段树

线段树是一种经典的数据结构，用于处理区间查询问题，例如区间求和、区间最小值、区间最大值等。它的基本思想是将区间递归地划分为若干个子区间，并将每个子区间的信息保存在一个节点中，从而形成一棵树形结构，即线段树。

线段树的每个节点都代表一个区间，如果该节点表示的区间与待查询的区间有交集，那么该节点保存的信息就可能对查询有用。因此，在查询时，只需要访问与待查询区间相交的节点即可，而不需要访问整棵树。

线段树通常使用数组来实现，其空间复杂度为 O(n)，其中n是区间的长度。线段树的建树复杂度为 O(n)，单次查询复杂度为 O(\log n)。

2.线段树的举例

我们对数组arr(如下图)构建一颗线段树(如下下图),此时叶子结