简单背包问题

题目:有 NN件物品和一个容量为 V 的背包,每件物品有各自的价值且只能被选择一次,要求在有限的背包容量下,装入的物品总价值最大。

状态f[i][j]定义:前 i 个物品,背包容量 jj下的最优解(最大价值):

当前的状态依赖于之前的状态,每一次对第 i 件物品的决策,状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。

当背包容量不够j<v[i]只能选择i-1个物品对应代码:f[i][j]=f[i-1][j]

当背包容量够用就j>=v[i];此时还需要考虑选不选择第i个物品;

选择:f[i][j]=f[i-1][j-v[i]+w[i]]

不选:f[i][j]=f[i-1][j]

取两者的最大值max();

### Python实现考虑体积和质量的简单背包问题 在解决简单背包问题时,可以使用动态规划方法来找到最优解。以下是针对物品具有体积 \( W \) 和质量 \( V \),并受限于背包总容量的情况下的解决方案。 #### 动态规划的核心思路 定义二维数组 `dp[i][j]` 表示从前 \( i \) 个物品中选择,当背包剩余容量为 \( j \) 时的最大价值。状态转移方程如下: \[ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j], & \text{if } w_i > j \\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i]+v_i), & \text{otherwise} \end{cases} \] 其中: - \( w_i \): 物品 \( i \) 的体积; - \( v_i \): 物品 \( i \) 的价值; - \( j \): 当前背包剩余容量。 最终的结果存储在 `dp[n][C]` 中,\( n \) 是物品总数,\( C \) 是背包最大容量。 --- #### 完整代码实现 以下是一个完整的 Python 实现,用于求解带体积和质量限制的简单背包问题: ```python def knapsack(items, capacity): """ 解决带有体积和质量限制的简单背包问题 :param items: 列表 [(w1, v1), (w2, v2)...],分别代表每个物品的体积和价值 :param capacity: 背包的最大容量 :return: 最大价值以及对应的物品组合 """ n = len(items) # 初始化 DP 数组 dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)] # 填充 DP 表格 for i in range(1, n + 1): weight, value = items[i - 1] for j in range(capacity + 1): if weight > j: dp[i][j] = dp[i - 1][j] else: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight] + value) # 寻找具体方案 result = [] total_value = dp[n][capacity] remaining_capacity = capacity for i in range(n, 0, -1): if dp[i][remaining_capacity] != dp[i - 1][remaining_capacity]: result.append(i - 1) # 添加当前物品索引到结果列表 remaining_capacity -= items[i - 1][0] return total_value, result # 测试数据 items = [(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 8)] # 每个元组的第一个值为体积,第二个值为价值 capacity = 5 # 背包最大容量 total_value, selected_items = knapsack(items, capacity) print(f"最大价值: {total_value}") print(f"选中的物品索引: {selected_items}") ``` --- #### 输出解释 假设输入参数为: - `items = [(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 8)]` - `capacity = 5` 运行程序后会得到输出: ``` 最大价值: 7 选中的物品索引: [1, 0] ``` 这表明选择了第 0 号和第 1 号物品(从零开始计数),它们的总体积不超过背包容量,且总价值达到最大。 --- #### 复杂度分析 - 时间复杂度:\( O(n \times C) \),其中 \( n \) 是物品数量,\( C \) 是背包容量。 - 空间复杂度:\( O(n \times C) \)。可以通过优化降低空间复杂度至 \( O(C) \)[^1]。 ---
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