遗传算法（GA算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)

一、采用GA求解 (TSP)

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求解代码在文中，后续会出其他算法求解TSP问题，你们参加数学建模竞赛只需要会改代码即可。

我知道大家对原理性的东西不感兴趣，我把原理性的东西放在后面，大家如果需要写数模论文可以拿去，但是记得需要改一改，要不然查重过不去。

二、 旅行商问题

2.1 旅行商问题简介

旅行商问题（Travelling Salesman Problem, TSP） 是一个经典的组合优化问题，问题描述如下：

给定一组城市以及每对城市之间的距离，一个旅行商需要从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，并最终回到起点城市。目标是找到一条总距离最短的旅行路线。

2.2 使用遗传算法解决 TSP

遗传算法是解决 TSP 问题的有效方法之一。它通过模拟自然进化过程（如选择、交叉、变异等）来逐步优化解，寻找最短路径。

2.2.1 遗传算法求解 TSP 的基本步骤

1. 定义编码方式：

   • 一个个体（即解）表示为一个城市序列。例如，假设有 5 个城市，用数字 0, 1, 2, 3, 4 表示，一个可能的解为 [0, 2, 4, 3, 1]，表示从城市 0 出发，依次经过城市 2, 4, 3, 1，最后回到城市 0。

2. 定义适应度函数：

   • 适应度函数用于评估每个个体的优劣。在 TSP 中，适应度通常定义为旅行总距离的倒数（因为我们希望最小化距离）。例如，个体的路径为 [0, 2, 4, 3, 1]，则其适应度为该路径总距离的倒数。

3. 初始化种群：

   • 随机生成一组解（路径），构成初始种群。种群中的每个个体表示一个可能的路径。

4. 选择操作：

   • 根据个体的适应度值，以一定的概率选择个体作为父代，用于生成下一代种群。适应度高的个体有更大的概率被选择。

5. 交叉操作：

   • 从父代中选取两个个体进行交叉操作，生成新的子代。例如，采用部分映射交叉（Partially Mapped Crossover, PMX）。

6. 变异操作：

   • 对新生成的个体（子代）进行随机变异，以增加解的多样性。例如，随机交换两个城市的位置。

7. 生成新种群：

   • 用子代替换父代，形成新的种群。

8. 迭代和终止：

   • 重复上述过程，直到达到预定的迭代次数或找到一个满意的解。

2.3 实际例子：求解 6 个城市的 TSP

假设有 6 个城市，其坐标如下：

城市	X 坐标	Y 坐标
0	10	20
1	30	40
2	20	10
3	40	30
4	10	10
5	50	20

目标是找到一个经过所有城市且总距离最短的路径。

1. 初始化种群

初始种群由一组随机生成的城市序列组成，例如：

• 个体 1: [0, 2, 4, 1, 5, 3]
• 个体 2: [1, 0, 3, 5, 4, 2]
• 个体 3: [3, 1, 0, 2, 4, 5]
• …（假设种群大小为 100）

2. 计算适应度

对每个个体计算其路径总距离，例如：

• 个体 1 的路径 [0, 2, 4, 1, 5, 3]：
  • 路径总距离 = 距离(0, 2) + 距离(2, 4) + 距离(4, 1) + 距离(1, 5) + 距离(5, 3) + 距离(3, 0)
  • 假设计算得到路径总距离为 100，则适应度为 1/100 = 0.01。

3. 选择操作

采用轮盘赌选择法：根据适应度值的大小，随机选择适应度高的个体作为父代。

4. 交叉操作

采用部分映射交叉（PMX）：

• 父代 1: [0, 2, 4, 1, 5, 3]
• 父代 2: [1, 0, 3, 5, 4, 2]

选取交叉点（例如 2 和 4），交换基因片段后得到子代：

• 子代 1: [0, 2, 3, 5, 4, 3]
• 子代 2: [1, 0, 4, 1, 5, 2]

再根据父代保持路径唯一性调整得到合法子代：

• 调整后子代 1: [0, 2, 3, 5, 1, 4]
• 调整后子代 2: [1, 0, 3, 2, 5, 4]

5. 变异操作

对子代进行变异，例如随机交换子代 1 的城市位置 [5, 1]：

• 变异后子代 1: [0, 2, 3, 1, 5, 4]

6. 生成新种群

用子代替换种群中的劣质个体，形成新的种群。

7. 迭代与终止

重复上述步骤，迭代进行进化，直到达到预定的迭代次数或找到最短路径。

三、 采用GA求解TSP，代码（完整代码关注底部微信公众号获取）

3.1 求解该问题的代码