第9章：无穷级数（上）

第九章：无穷级数（上）

第一节：常数项级数

基本概念

1. 常数项级数概念：给定一个数列$u_1,u_2,u_3,...,U_n,...$，将各项依次相加，简记为$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，即：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$

   称上式为无穷级数，其中第$n$项$u_n$叫做级数的一般项，级数的前$n$项和$S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k=u_1+u_2+u_3+...+u_n$

   称为级数的部分和。若$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$存在，则称无穷级数收敛，并称$S$为级数的和，记作$S=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，若$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$不存在，则称无穷级数发散，当级数收敛时，称差值$r_n=S-S_n=u_{n+1}+u_{n+2}+u_{n+3}+...$，为级数的余项，显然$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=0$

2. 无穷级数的本质：部分和的极限，极限的本质是一个数，所以级数其实本质上还是一个数。而部分和是一个函数，这一点需要完全理解。

重要公式

1. 两个重要级数
   1. 几何级数（等比级数）
      1. $\sum _{n=0}^{\infty }a{q}^n=a+aq+a{q}^2+...+a{q}^n+...(a\ne 0)$
      2. 敛散性：当$|q|<1$时，级数收敛，收敛于$\frac{首项}{1-公比}=\frac{a}{1-q}$；当$|q|\ge 1$时，级数发散
   2. $p$​级数
      1. $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...+\frac{1}{n^p}+...$
      2. 敛散性：当$p\le 1$时，发散，当$p>1$时，收敛。
      3. 对于$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n^p}$的敛散性：$\{\begin{array}{ll}绝对收敛& p>1\\ 条件收敛& 0<p\le 1\\ 发散& p\le 0\end{array}$

重要性质

1. 性质1：若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛于$S$，即$S=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，则各项乘以常数$c$所得级数$\sum _{n=1}^{\infty }c{u}_n$也收敛，其和为$cS$
2. 性质2（大概率）：收敛的可加性
   1. 收敛+收敛 = 收敛
   2. 条件收敛+绝对收敛 = 条件收敛
   3. 收敛+发散 = 发散
   4. 发散+发散 = 不确定
   5. 使用场景：当出现两个级数相加的时候可以判断两个级数的敛散性。
3. 性质3：在级数前面加上或去掉或修改有限项不会影响级数的收敛性
4. 性质4：收敛级数加括弧后所成得级数依然收敛于原级数的和，或者说：加括号增加收敛性
   1. 如果加括号后级数发散，原级数发散。
   2. 原级数收敛，加括号后级数收敛。
   3. 这个结论反映了：内部项的组合对整体敛散性的影响。
   4. 例题：
      1. $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛？
      2. $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛？
5. 性质5（大概率）：设收敛级数$S=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，则必有$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。若级数的一般项不趋于0，则级数必发散，但$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$​并不能推出级数收敛。
   1. 这个结论，反映了级数的敛散性和通项公式的极限的关系。
   2. 适用场景：
      1. 求敛散性：若级数的一般项不趋于0，则级数必发散。
      2. 已知级数收敛，求通项公式的极限。

解题思路

1. 定义法判断收敛性：

   1. 适用场景：通向可以表示成两项之差的形式$u_n=a_n-a_{n-1}$​

   2. 步骤：

      1. 把每一项化为两项之差，消除无限项，最后留下有限项，常见的拆分形式有：
         1. $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
         2. $\frac{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)}=\frac{1}{k}[\frac{1}{n(n+1)...(n+k-1)}-\frac{1}{(n+1)...(n+k)}]$，特殊地，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
         3. $\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$
         4. $ln\frac{n+1}{n}=ln(n+1)-lnn$
      2. 求极限

   3. 例题：

      1. 叛别下列级数的收敛性：$\sum _{n=1}^{\infty }ln\frac{n+1}{n}$，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$

      2. 设级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$发散（$a_n>0$），令$S_n=a_1+a_2+...+a_n$，则$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{S_n}-\frac{1}{S_{n+1}})$​（）

         A. 发散，B. 收敛于$\frac{1}{a_1}$，C. 收敛于$0$，D. 敛散性不确定

      3. 若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛（$u_n>0$），则下列结论正确的是（）（已知收敛，可以得到$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$）

         A. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho <1$，B. $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho <1$(tip：一般指对化为$e^{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{ln{u}_n}{n}}$，存在$u_n$使该极限等于1)

         C. $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+u_{n+1})$一定收敛，D. $\sum _{n=1}^{\infty }\sqrt{u_n}$收敛

第二节：指定类型常数项级数的审敛法

基本概念

1. 若$u_n\ge 0$，则称$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​为正项级数

2. 若$u_n>0,n=1,2,...$，则各项符号正负相间的级数$u_1-u_2+u_3-u_4+...+(-1{)}^{n-1}{u}_n+...$，称为交错级数。

3. 绝对收敛与条件收敛：对任意级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，若$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$收敛，则称原级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$绝对收敛；若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$发散，则称原级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$条件收敛

重要公式

1. 常用不等式
   1. $sinx<x<tanx,0<x<\frac{\pi }{2}$
   2. $sinx<x,x>0$
   3. $\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x<e^{x-1},x>0$​
   4. $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(看到根号用这个),a>0,b>0$

重要性质

1. 正项级数及其审敛法

   1. 定理1（这个性质一般用于证明）：

      1. 定理描述：正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛$\iff$部分和序列 { S n } \{S_n\} {Sn​}有界。说明：正相级数和部分和 { S n } \{S_n\} {Sn​}​单调增加，判定正向级数收敛，只需要找上界
      2. 证明：部分和$S_n$有界，则$S_n$的极限一定存在，即$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=C$​，则正项级数收敛。
      3. 这个性质反映了：正项级数的级数收敛性和部分和的有界性的关系。

   2. 定理2：（比较审敛法）

      1. 定理描述：

         1. 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$是两个正项级数，且存在$N\in Z^{+}$，对一切$n>N$，有$u_n\le v_n$，则有

            1. 若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$也收敛（大收敛，则小收敛）

            2. 若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$​也发散（小发散，则大发散）

            3. 注：几何级数与$p$​级数是两个常用的比较级数

            4. 如果找$u_n\le v_n$?
               $$u_n\le v_n\{\begin{array}{l}常用不等式\{\begin{array}{ll}sinx<x<tanx,& 0<x<\frac{\pi }{2}\\ sinx<x,& x>0\\ \frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x<e^x-1,& x>0\\ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(看到根号用这个),& a>0,b>0\end{array}\\ 放缩\{\begin{array}{l}放缩分母\\ 放缩分子\end{array}\end{array}$$

      2. 适用场景（有两个级数的场景）

         1. 证明敛散性：
            1. 没有两个级数，构建一个级数，构建不等式，往几何级数与$p$级数上去凑
            2. 通过构建的不等式判断敛散性。

   3. 定理3：（比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的改进）

      1. 定理描述：
         1. 设两个正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$，满足$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$，则有：
            1. 当$0<l<\infty$时，两个级数同时收敛或发散。（寻找可以进行等价无穷小替换的进行比较）
            2. 当$l=0$且$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$收敛时，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​也收敛。证明收敛：寻找比$u_n$阶数高且收敛的。
            3. 当$l=\infty$且$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$发散时，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​​也发散。证明发散：寻找比$u_n$​阶数低且发散的。
      2. 适用场景：适合可以进行等价无穷小替换类型的

   4. 定理4：（比值审敛法）（比较审敛法的改进，不需要找别的比较对象，直接和自己比较）

      1. 定理描述：
         1. 设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数，且$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则
            1. 当$\rho <1$时，级数收敛
            2. 当$\rho >1$或者$\rho =\infty$​​时，级数发散
            3. 当$\rho =1$​时，级数可能收敛，也可能发散（需要其他方法判断）
      2. 适用场景：通项中有$n$的阶乘或者通项中有$a^n$。

   5. 定理5：（根值审敛法）

      1. 定理描述：设$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$为正项级数，且$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则
         1. 当$\rho <1$时，级数收敛
         2. 当$\rho >1$​​​时，级数发散
         3. 当$\rho =1$时，不确定（另找他法）
      2. 使用场景：通项是$n$次幂或者$n^2$次幂形式的，$({)}^n,({)}^{n^2}$

   6. 定理6：（积分审敛法）

      1. 定理描述：若$u_n$单调递减，令$u_n=f(n),则\sum _{n=a}^{\infty }{u}_n和{\int }_a^{+\infty }f(x)dx$同收敛，一般$a$​​等于1。
      2. 适用场景：
         1. 正项级数，通项公式单调递减且函数好积。如果通项的极限等于0，还可以用第一节的性质5进行判断收敛性
         2. 通过这个定理，可以把判断级数的敛散性，转化为判断反常积分（本质是极限）的敛散性

2. 交错级数及其审敛法

   1. 定理7：（$Leibnitz$判别法）

      1. 定理描述：若交错级数满足条件

         1. $u_n\ge u_{n+1}(n=a,a+1,...),a$为任意一个大于等于1的数。（判断这个条件可以用求导，判断单调性，要注意定义域$[1,+\infty )$），且$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$（求极限），则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$收敛，且其和$S\le u_1$，其余项满足$|r_n|\le u_{n+1}$

      2. 注意，有些交错级数形式很隐蔽，例如：$\sum _{n=2}^{\infty }sin(n\pi +\frac{1}{lnn})=\sum _{n=2}^{\infty }(-1{)}^{n}sin(\frac{1}{lnn})$

3. 交错级数性质：若交错级数收敛，则其和不大于首项：$S\le u_1$

4. 绝对收敛与条件收敛

   1. 定理8：绝对值增加发散性
      1. 绝对值级数收敛，原级数必收敛（绝对收敛）。
      2. 原级数发散，绝对值级数必发散。
   2. 使用场景：这个性质可以把判断交错级数或任意项级数的敛散性转化为判断正项级数的敛散性，大大增加了判断交错级数敛散性的方法。

解题思路

1. 求具体级数的敛散性

   1. 方法：

      1. 第一步：判断该级数属于哪一类，正项级数，交错级数，任意项级数
      2. 第二步：确定比较对象，预测敛散性
         1. 正项级数：$\frac{1}{nl{n}^{p}n}:\{\begin{array}{ll}收敛& p>1\\ 发散& p\le 1\end{array}$，比$\frac{1}{nlnn}$大的都发散，比$\frac{1}{nlnn}$小的都收敛
         2. 交错级数：$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{1}{nl{n}^{p}n}$：$\{\begin{array}{ll}绝对收敛& p>1\\ 条件收敛& 0<p\le 1\\ 发散& p\le 0\end{array}$，$\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n\ne 0$，则发散，否则，让$a_n$和$\frac{1}{nlnn}$进行比较，如果大于$\frac{1}{nlnn}$，则绝对收敛，如果小于或等于$\frac{1}{nlnn}$则条件收敛。
      3. 第三步：根据不同的级数类型选用适合的方法
         1. 任意项级数（正项级数和交错级数都属于任一项级数）
            1. 看看首先能不能用定义法解决，如果能，用定义法。
            2. 判断级数通项公式的通项公式的极限，极限不等于零：发散
            3. 如果级数的通项公式具有周期性，可以试着加括号，如果加括号后级数发散，则原级数发散
            4. 如果级数的通项公式具有括号，可以去括号，如果去括号后级数收敛，则原级数收敛
            5. 如果不行再使用绝对收敛与条件收敛的特性，把问题转化为正项级数。
         2. 正项级数：
            1. 通项单调递减，则用定理6：积分审敛法
            2. 通项中$n$次幂或者$n^2$次幂，$({)}^n,({)}^{n^2}$，使用定理5：根植审敛法
            3. 如果通项中有阶乘或$a^n$​，用定理4：比值审敛法
            4. 如果通项中有可进行等价无穷小替换的，用定理3：比较审敛法的极限形式或者定理4：比较审敛法
               1. 通项公式特点：含有：$sin\Delta ,tan\Delta ,\sqrt{\Delta },|\Delta |,e^{\Delta },ln(\Delta )$​等形式的式子。
               2. 这两个方法需要找一个比较对象，所以如果是抽象函数的证明题中，如果题中给了一个级数敛散性，一定会使用这个方法。
         3. 交错级数
            1. 然后使用定理7：$Leibnitz$，判断正通项的单调性和极限。
            2. 如果不行再使用绝对收敛与条件收敛的特性，把问题转化为正项级数

   2. 例题：

      1. 判断级数$\sum _{n=1}^{\infty }sin(n\pi +\frac{1}{lnn})$​的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛。

      2. 判断级数$\sum _{n=1}^{\infty }sin(\pi \sqrt{n^2+a^2})(a\ne 0)$的敛散性，若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛。

      3. 判断下列级数的敛散性（注意：用性质前，先声明是什么级数，才能用相应的性质）$\sum _{n=1}^{\infty }sin\frac{\pi }{2^n}$，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\int }_0^n\sqrt{1+x^4}dx}$​

      4. 证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$发散。

      5. 证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{n^2}{e^n}$绝对收敛。

      6. 用$Leibnitz$判别法判断下列级数的敛散性

         1. $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}+...$
         2. $1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n!}+...$
         3. $\frac{1}{10}-\frac{2}{10^2}+\frac{3}{10^3}-\frac{4}{10^4}+...+(-1{)}^{n-1}\frac{n}{10^n}+...$

      7. 用积分审敛法判断敛散性：

         1. 证明：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}收敛，p>1\\ 发散，p\le 1\end{array}$​
         2. 讨论：$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{nl{n}^{p}n}$的敛散性（这个式子还经常用于选择题举反例）

      8. 判断级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{n}n!}{n^n}$的敛散性。

      9. 讨论级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}(x>0)$的敛散性。

      10. 判断级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{n}{n+1}{)}^{n^2}$的敛散性。

      11. 判别级数$\sum _{n=1}^{\infty }sin\frac{1}{n}$的敛散性。

      12. 判别级数$\sum _{n=1}^{\infty }[sin\frac{1}{n}-ln(1+\frac{1}{n})]$的敛散性（tip：看到这种不容易判断几阶无穷小的时候，可以用泰勒）

      13. 设$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$为发散的交错级数，其中$a_n>0(n=1,2,...)$且 { a n } \{a_n\} {an​}单调递减，判断级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{1+a_n}{)}^n$​的敛散性。

          1. 这个题一定要明确$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$​​是否可导，所以一定要说明单调递减且有下界，极限一定存在。

      14. 设正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，能否推出$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$收敛？

      15. 设级数$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，能否推出$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$​收敛？

      16. 若正项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{\sqrt{a_n}}{n}$（）(tip：$\sum \frac{1}{n}$作为比较对象，使用比较审敛法)

          A. 发散，B. 条件收敛，C. 绝对收敛，D. 敛散性不确定

      17. 级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n(1-cos\frac{a}{n})(a>0)$（）

          A. 发散，B. 条件收敛，C. 绝对收敛，D. 敛散性与$a$有关

      18. 已知$a_n>0(n=1,2,...)$，且级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，又$0<k<\frac{\pi }{2}$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n(ntan\frac{k}{n})a_{2n}$（）

          A. 绝对收敛，B. 条件收敛，C. 发散，D. 敛散性与$k$有关

      19. 设$k>0$，且级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+k}}$（）

          A. 绝对收敛，B. 条件收敛，C. 发散，D. 敛散性与$k$​有关

      20. 设$a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{1}{a_n})(n=1,2,\mathrm{3...})$证明：

          1. $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$存在
          2. 证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)$​​收敛

      21. 设$f_n(x)=x^3+a^{n}x-1$，其中$n$是正整数，$a>0$，证明：方程$f_n(x)=0$有唯一根$r_n$，若$S_n=r_1+r_2+r_3+...+r_n$，证明$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$存在，且$\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a^4-1}\le S\le \frac{1}{a-1}$