洛谷P2986--Great Cow Gathering G(换根DP)

题目描述

Bessie 正在计划一年一度的奶牛大集会，来自全国各地的奶牛将来参加这一次集会。当然，她会选择最方便的地点来举办这次集会。

每个奶牛居住在 N 个农场中的一个，这些农场由 N-1 条道路连接，并且从任意一个农场都能够到达另外一个农场。道路 i 连接农场 Ai​ 和 Bi​，长度为 Li​。集会可以在 N 个农场中的任意一个举行。另外，每个牛棚中居住着 Ci​ 只奶牛。

在选择集会的地点的时候，Bessie 希望最大化方便的程度（也就是最小化不方便程度）。比如选择第 X 个农场作为集会地点，它的不方便程度是其它牛棚中每只奶牛去参加集会所走的路程之和（比如，农场 ii 到达农场 X 的距离是 20，那么总路程就是 Ci​×20）。帮助 Bessie 找出最方便的地点来举行大集会。

输入格式

第一行一个整数 N 。

第二到 N+1 行：第 i+1 行有一个整数 Ci​。

第 N+2 行到 2N 行：第 i+N+1 行为 3 个整数：Ai​,Bi​ 和 Li​。

输出格式

一行一个整数，表示最小的不方便值。

输入

5 
1 
1 
0 
0 
2 
1 3 1 
2 3 2 
3 4 3 
4 5 3 

输出

15

解析：做法跟树的重心类似，我们先dfs1更新一下每个点的子树中奶牛总数量，同时也初始根为1时的总代价。dfs2为换根dp，对于父节点u和他的子节点j，以父节点为基地的代价为dp[fa]，那么代价变化就是dp[fa]+(sum-son[j])*len-son[j]*len，len表示边权，u->j,j点以上有(sum-son[j])个奶牛,每个多走len，j点以下有son[j]个奶牛,每个少走len，然后每次与答案取min即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
typedef pair<int,ll> PII;
ll w[N],son[N],dp[N],sum,ans;
//每个点的奶牛数量,子树奶牛数量,以u为根的总距离,总奶牛数量和答案
vector<PII> v[N];
void dfs1(int u,int fa)
{
    son[u]+=w[u];
    for(int i=0;i<v[u].size();i++)
    {
        int j=v[u][i].first;
        ll len=v[u][i].second;
        if(j==fa) continue;//避免回搜父节点
        dfs1(j,u);
        ans+=len*son[j];//初始答案假设1为基地
        son[u]+=son[j];//计算子树中奶牛总数
    }
}
void dfs2(int u,int fa)
{
    for(int i=0;i<v[u].size();i++)
    {
        int j=v[u][i].first;
        ll len=v[u][i].second;
        if(j==fa) continue;
        dp[j]=dp[u]+(sum-son[j])*len-son[j]*len;
        //u->j,j点以上有(sum-son[j])个奶牛,每个多走len
        //j点以下有son[j]个奶牛,每个少走len
        ans=min(ans,dp[j]);//更新答案
        dfs2(j,u);
    }
}
void solve()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&w[i]),sum+=w[i];
                                            //sum计算一共有多少头牛
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b;
        ll c;
        scanf("%d%d%lld",&a,&b,&c);
        v[a].push_back({b,c});
        v[b].push_back({a,c});
    }
    dfs1(1,0);//计算基本信息
    dp[1]=ans;
    dfs2(1,0);//换根dp
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    int t=1;
    //scanf("%d",&t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}