数据结构算法设计——树和森林的存储及概念

注：本文没有代码，所有内容均以解决笔试题目为主。当然，读完本文对编写代码和理解树这一概念都会有很大的帮助。

一、概念

1.1 大致结构

图片来源：数据结构：树(Tree)【详解】_数据结构 树_UniqueUnit的博客-优快云博客

 1.2 概念

        1.有且只有一个根节点。也就是图上的A点。

        2.有若干个不相交的子树，这些子树本身也是一棵树。比如以B为根节点的树。

        3.每个节点都只有一个父节点但是可以有多个子节点。比如B节点的父节点只有A，但是有E和F两个子节点。

        4.根节点没有父节点。

1.3 部分常用术语

        深度：从根节点到最底层节点的层数成为深度，根节点是第一层（如上图就是4层）。

        叶子节点：没有子节点的节点。即最后一层的结点。

        终端节点：度为0的结点，又称叶子节点。

        非终端节点：即非叶子节点。

        度：子节点的个数为度，树的度取子节点个数最大的那个。

        分支结点：度大于0的结点，除了叶子都是分支结点。

        内部结点：除了树根和叶子都是内部结点。

二、树的分类

一般树：任意一个节点的子节点的个数都不受限制。

二叉树：任意一个节点的子节点的个数最多两个，且子节点的位置不可更改。二叉树也是我们最常用的，一定要牢牢掌握，后面也会提到很多关于二叉树的性质和作用。如下图，就是一个二叉树。

 

满二叉树：在不增加树的层数的前提下，无法再多添加一个节点的二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：如果只是删除了满二叉树最底层最右边连续若干个节点，这样形成的二叉树就是完全二叉树。

森林：n个互不相交的数树的集合。如下图就是一个简单的森林，由两个树构成。

 三、树的性质

        下列性质在做考研题的时候常用，而写代码的过程中使用较少。

        1.若共有n个节点，总边数为B，则有 B=n-1。

        2.深度为k的二叉树至多有2k−1个节点。

        3.深度为k且有2k−1个节点的二叉树成为满二叉树。

        4.具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n+1x表示求不大于x的最大整数。

        5.完全二叉树中，对任一个节点i，若 i > 1，则其父节点为 i / 2；若 2i > n，则节点 i 为叶子节点，无左子树；否则，其左子节点为 2i；若 2i + 1 > n，则节点i无右子树；否则，其右子树节点为 2i+1。

        注意：若一个二叉树有 n 个节点，则有 n-1 个链域存放指针，有 n+1 个空指针域。

四、树和森林的存储

        每一个节点里面分三个部分，一部分存储它的数据，一部分存储左子树的地址，一部分存储右子树的地址，没有左子树或右子树就是NULL（空）。

4.1 双亲表示法

        优点：求父节点方便。

         如上图的树，存储时结构如表：

数组下标	节点（数据）	父节点	原因
0	A	-1	由于A没有父节点，所以值为-1
1	B	0	B的父节点是A，值为0
2	C	0	C的父节点是A，值为0
3	D	0	D的父节点是A，值为0
4	E	3	E的父节点是D，值为3

4.2 孩子表示法

        将树中的每个结点的孩子结点排列成一个线性表，用链表存储起来。对于含有 n 个结点的树来说，就会有 n 个单链表，将 n 个单链表的头指针存储在一个线性表中，这样的表示方法就是孩子表示法。

        优点：求子节点方便。（图片来源：树的双亲表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法）

         如上图所示的树，用孩子表示法表示其节点为：

         将头结点 R 的孩子们 A,B,C 排成一个线性表，用链表存储起来。其他的各个结点以此类推，就可以得出图表。

4.3 双亲孩子表示法

        使用孩子表示法存储的树结构，正好和双亲表示法相反，适用于查找某结点的孩子结点，不适用于查找其父结点。可以将两种表示方法合二为一，使其求子节点和父节点都方便。

        还用上述例题，用双亲孩子表示法来表示其节点：（图片来源：树的双亲表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法）

         对比 4.2 和 4.3 可知，双亲孩子表示法在前者的基础上加了一组数据，即父节点的数组下标，这样就就可以很方便的找到父节点。

4.4 二叉链表表示法

        作用：把一个普通树转化成二叉树来存储。

        做法：设法保证任意一个节点的 左指针域指向它的第一个孩子，右指针域指向它的兄弟 ，只要能满足此条件，就可以把一个普通树转化成二叉树。

        还以上图为例，按照上述规则做出它的二叉树为（画的比较丑别介意哈）：

 4.5 森林的存储

        上面前三种方式是树的存储方式，第四种是树和森林转化成二叉树的方式，森林的存储方式为：先把森林转化成二叉树，再存储二叉树。森林的每一个最开始的父节点是兄弟关系。