线段树详解(附例题)

最新推荐文章于 2025-02-15 16:13:38 发布

白沐沐vccc

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文章标签：程序人生

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线段树

线段树是一种基于分治思想的二叉树，它的每个节点对应一个区间[L,R]，叶子节点的区间L=R。非叶子节点[L,R]的左孩子区间为[L,(L+R)/2]，右孩子区间为[(L+R)/2+1,R]。 [1,10]区间的线段树:

「1、线段树的存储方式」
对于区间最值(最大值或最小值）查询问题，线段树的每个节点包含三个域:l、r、mx，其中l和r表示区间的左右端点，mx表示[l, r]区间最值。线段树除了最后一层，其他层构成一颗满二叉树，因此采用顺序存储方式，用一个数组tree[]存储节点。

以最大值为例，10个元素a[1..10]={5,3,7,2,12,1,6,4,8,15}，线段树如下。

线段树需要开辟4n的空间

线段树的叶子结点有n个，那么这n个叶子结点最坏情况会在不同的两层上，即倒数2层，设线段树共有k层，以第k层只有2个叶子结点为例。如图所示，则第k-1层有n-2个叶子结点和1个非叶子结点，共n-1个结点，则第k层应有2(n-1)个空间结点，由满二叉树性质可知，前k-2层应有n-2个结点空间，所以总空间为个。忽略少数空间，所以开辟空间时需要4n个空间。

「2、创建线段树」
可以采用递归的方法创建线段树。算法步骤:

若是叶子节点(l=r)，则节点的最值就是对应位置的元素值。
若是非叶子节点，则递归创建左子树和右子树。
节点的区间最值等于该节点左右子树最值的最大值。

「代码」

#define lc k<<1  //左孩子下标 2*k 
#define rc k<<1|1 //右孩子下标 2*k+1
const int maxn=10005;
const int inf=0x7fffffff;
int n,a[maxn];

struct node{
 int l,r,mx;//l,r表示区间的左右端点，mx表示区间[l,r]的最大值 
}tree[maxn*4];


//构建线段树 
void build(int k,int l,int r){ //k:线段树数组下标，l，r分别为结点的左右区间 
 tree[k].l=l;
 tree[k].r=r;
 if(l==r){
  tree[k].mx=a[l];
  return;
 }
 int mid=l+(r-l>>1);
 build(lc,l,mid);
 build(rc,mid+1,r);
 tree[k].mx=max(tree[lc].mx,tree[rc].mx);
}

「3、点更新」
点更新指修改一个元素的值，例如将a[i]修改为v。算法步骤: (1）若是叶子节点，满足l=r且l=i，则修改该节点的最值为v。 (2）若是非叶子节点，则判断是在左子树中更新还是在右子树中更新。 (3）返回时更新节点的最值。

「代码」

#define lc k<<1  //左孩子下标 2*k 
#define rc k<<1|1 //右孩子下标 2*k+1
const int maxn=10005;
const int inf=0x7fffffff;
int n,a[maxn];

struct node{
 int l,r,mx;//l,r表示区间的左右端点，mx表示区间[l,r]的最大值 
}tree[maxn*4];

//更新线段树
void update(int k,int i,int v){ //k:线段树数组下标，i:更新的数组下标，v:更新后的值 
 if(tree[k].l==tree[k].r&&tree[k].l==i){
  tree[k].mx=v; 
  return;
 }
 int mid=tree[k].l+(tree[k].r-tree[k].l>>1);
 if(i<=mid) update(lc,i,v);
 else update(rc,i,v);
 tree[k].mx=max(tree[lc].mx,tree[rc].mx);
}

例如，修改第5个节点的值为14，先从树根向下找第5个元素所在的叶子节点，将其最值修改为14，返回时更新路径上所有节点的最值（左右子节点最值的最大值）。

「4．区间查询」
区间查询指查询一个[l,r]区间的最值。
算法步骤:
(1)若节点所在的区间被查询区间[1,r]覆盖，则返回该节点的最值。

(2）判断是在左子树中查询，还是在右子树中查询。

(3）返回最值。

「代码」

#define lc k<<1  //左孩子下标 2*k 
#define rc k<<1|1 //右孩子下标 2*k+1
const int maxn=10005;
const int inf=0x7fffffff;
int n,a[maxn];

struct node{
 int l,r,mx;//l,r表示区间的左右端点，mx表示区间[l,r]的最大值 
}tree[maxn*4];

//查询区间最值(区间覆盖)
int query1(int k,int l,int r){ //k:线段树数组下标，l，r为查询区间范围 
 if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r) return tree[k].mx;
 int mid=tree[k].l+(tree[k].r-tree[k].l>>1);
 int Max=-inf;
 if(l<=mid) Max=max(Max,query1(lc,l,r));
 if(r>mid) Max=max(Max,query1(rc,l,r));
 return Max;
} 

//查询区间最值(区间分割)
int query2(int k,int l,int r){ //k:线段树数组下标，l，r为查询区间范围 
 if(tree[k].l==l&&tree[k].r==r) return tree[k].mx;
 int mid=tree[k].l+(tree[k].r-tree[k].l>>1);
 int Max=-inf;
 if(l<=mid) Max=max(Max,query2(lc,l,mid));
 if(r>mid) Max=max(Max,query2(rc,mid+1,r));
 return Max;
}

「算法分析:」
树上的操作大多与树高相关。因为线段树对区间进行二分，是一棵平衡二叉树，树高为O(logn)，查询和更新的时间复杂度均为O(logn)，空间复杂度为O(n)。线段树主要用于更新和查询，一般至少有一个是区间更新或查询。更新和查询的种类变化多样，灵活运用线段树可以解决多种问题。

「拓展：懒标记（难点）」

❝
假设有数组a，现有2种操作，一种是将数组中区间[l,r]的值改为k，另一种是查询区间[l,r]的和，并且这2中操作次数足够多，我们应该怎么解决呢？
❞

如果用原有线段树，那么每次都要把区间[l,r]所有值都修改，如果再进行一次修改，那么上一次修改可能就无济于事了。

在看一种情况，首先进行修改区间[x,y]的值为d,再查询区间[x,y]的和。聪明的你一定能想到，直接用(y-x+1)*d就好了，对！那这样做的话，是不是只要修改这个区间值为d，然后用就好了。那你可能会问，这是巧了，如果我查询的区间和修改的区间不同呢？你是不是就要把每个区间值都修改呢？不！我们还是不用全部修改，只需要修改我们用到的区间即可。为了便于理解我们以下面例子展开介绍。